寻求满足$K_0(R) \ncong K_0(R[t])$的有单位元交换环$R$的实例及相关计算提示

嘿，你提到的Quillen关于正则Noetherian环的$K_0(R) \cong K_0(R[t])$确实是代数K理论里的经典结论，不过非正则环里的反例其实挺多的，我给你几个具体的例子和计算思路，帮你跳出之前卡壳的困境：

一、局部Artin环的例子：$R = k[x]/(x^2)$（$k$为域） #

先算$K_0(R)$：因为$R$是局部环（唯一极大理想是$(x)$），根据局部环的核心性质，所有有限生成投射模都是自由模，所以$K_0(R)$就是由自由模的秩生成的无限循环群，也就是$K_0(R) \cong \mathbb{Z}$。

再看$K_0(R[t])$：$R[t] = k[x,t]/(x^2)$，这个环不再是局部环了。我们可以找到非自由的有限生成投射模，比如考虑理想$M = (x, t) \subset R[t]$，可以证明它是投射模但不是自由模。进一步计算Grothendieck群的话，$K_0(R[t]) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$，明显和$K_0(R)$不同构。

计算提示：你可以用短正合序列$0 \to M \to R[t] \oplus R[t] \to M \to 0$来推导$[M]$在$K_0$里的关系，或者利用Serre的分裂原理分析$R[t]$上投射模的结构。

二、尖点曲线的坐标环：$R = k[x,y]/(y^2 - x^3)$ #

你之前尝试过这个环但没算出来，其实它就是一个典型的反例。首先，$R$是1维Noetherian环但不是正则的（尖点奇点）。$K_0(R)$的结构里包含了Picard群的信息——$R$上的秩1投射模对应Picard群的元素，而$R$的Picard群是非平凡的（比如存在非自由的秩1投射模）。

对于$R[t]$，利用Quillen的局部化序列：
$$K_0(R) \to K_0(R[t]) \to K_0(R(t))$$
其中$R(t)$是$R$上的有理函数域。$K_0(R(t))$会比$K_0(R)$多一些元素，而且左边的映射不是同构，这就导致$K_0(R[t])$的结构和$K_0(R)$不一样。

计算提示：可以用Milnor的patching方法构造$R[t]$上的非自由投射模——比如在$R[t]t$和$R[t]{1-t}$上分别取自由模，然后通过合适的同构把它们拼接起来，得到$R[t]$上的投射模，再分析这些模在$K_0$中的类；另外也可以通过计算环的Picard群和Grothendieck群的关系来推导。

三、更简单的例子：$R = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ #

这是一个非正则的局部环（极大理想是$(2)$）。$K_0(R) \cong \mathbb{Z}$，因为局部环上投射模都是自由的。而$R[t] = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[t]$上存在非自由的投射模，比如理想$(2, t)$，可以证明它是投射模但不是自由模，所以$K_0(R[t])$是$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$，和$K_0(R)$不同构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Divya