关于Henstock-Kurzweil可积函数非Lebesgue可积失效点集的性质问询

我们先从一个经典例子说起——函数 $f(x) = \frac{1}{x} \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$ 在区间 $[0, 1]$ 上是Henstock-Kurzweil（HK）可积的，但它不是Lebesgue可积的。不过这个函数的“失效”范围很有限：它只是在0点附近不满足局部可积性，只要取任意 $\epsilon > 0$，它在 $[\epsilon, 1]$ 上的Lebesgue积分都是存在的。

那把这个问题推广到一般情况时，这类“失效点”的集合能有多大呢？我们可以先给这个点集下一个严格定义：

$$
S(f) = { x \in [0, 1] : \text{存在 } \epsilon > 0 \text{ 使得 } f \text{ 在 } [x - \epsilon, x + \epsilon] \text{ 上HK可积，但 } |f| \text{ 在该区间上不HK可积}}.
$$

我想知道这个集合 $S(f)$ 能具备哪些性质：

• 它能不能有聚点？
• 能不能是余贫乏集（co-meager）？
• 能不能有正测度？

目前我们已经知道，通过对上面的例子做平移叠加，我们可以构造出 $S(f)$ 为任意有限集的情况。那自然会想到能不能用类似 $\sum_n 2^{-n} f(x - x_n)$ 的构造（其中 ${x_n}$ 是一个稠密集），但难点在于如何证明这个构造出来的函数的绝对值在某些点附近确实不具备HK可积性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者perplexed