关于满足特定整除条件的正整数解的上界问题探究

最近我在研究一个数论相关的猜想，想和大家探讨一下：假设$m,n,k$都是正整数，满足$m-1 \mid kn-1$且$n-1 \mid km-1$。那是不是当$m \ge n$时，最大的解$(m,n)$一定是$m=k^3$？如果不是的话，$\max{m,n}$能不能用$k$来给出一个上界呢？

我是从数值观察得到这个猜想的：

• 当$k=3$时，$m$的最大可能值是27；
• 当$k=4$时，这个最大值是64；
• 当$k=5$时，则是125。

看起来刚好对应$k^3$，但我一直找不到证明的思路。我试着把整除条件转化为等式来推导，过程如下：

1. 由第一个整除条件$m-1 \mid kn-1$，存在正整数$a$使得 $kn-1 = a(m-1)$，整理后可得：
   $$n = \frac{1 + am - a}{k}$$
2. 再看第二个整除条件$n-1 \mid km-1$，存在正整数$b$满足 $km-1 = b(n-1)$。

把$n$的表达式代入第二个等式，得到：
$$km - 1 + b = \frac{b + bam - ba}{k}$$

两边同乘$k$并整理后：
$$k^2m - k + kb = b + bam - ba$$

进一步化简为：
$$m(k^2 - ba) - k + kb - b + ba = 0$$
也就是：
$$m(k^2 - ba) + k(b-1) + b(a-1) = 0$$

不过到这一步我就卡壳了，完全不知道怎么从这个式子出发去限制$m$的大小。我也想过能不能把式子完全用$k$来表示，但还是没找到头绪，希望能得到大家的帮助。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1022331