关于斯皮瓦克《流形上的微积分》习题2-9(a)的正确性疑问及修正方案咨询

嘿，我最近在啃斯皮瓦克《流形上的微积分》第18页的习题2-9(a)，发现原题的表述好像有问题，想和大家聊聊我的想法。

先把原题内容贴出来：

在Michael Spivak的《Calculus on Manifolds》中，第18页的习题2-9(a)是这样的：
两个函数 $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ 在点 $a$ 处n阶相等，当且仅当
$$
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-g(a+h)}{h^n}=0
$$
(a) 证明：$f$ 在 $a$ 处可导当且仅当存在形如 $g(x)=a_0+a_1(x-a)$ 的函数 $g$，使得 $f$ 和 $g$ 在 $a$ 处一阶相等。

我觉得这里的充分性（即“如果存在这样的g，则f在a处可导”）方向是不成立的，给大家举个具体的反例：
取 $a=0$，定义函数 $f(x)$：当 $x\neq0$ 时 $f(x)=x$，当 $x=0$ 时 $f(x)=1$。显然这个函数在 $x=0$ 处不连续，自然不可能可导，但如果取 $g(x)$ 为恒等函数（也就是 $g(x)=x$），我们验证一下一阶相等的条件：
$$
\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-g(0+h)}{h^1} = \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-h}{h}
$$
当 $h\neq0$ 时，$f(h)=h$，分子为0，整个分式也为0，所以当 $h\to0$ 时这个极限就是0，完全满足一阶相等的条件，但 $f$ 在0处确实不可导。

现在我的疑问是：这个反例是不是正确的？如果确实没问题的话，我觉得这道题可以通过增加连续性条件来修正：
如果 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 在点 $a$ 处连续，并且存在仿射函数 $g(x)=a_0+a_1(x-a)$ 使得 $f$ 和 $g$ 在 $a$ 处一阶相等，那么就能推出 $f$ 在 $a$ 处可导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joe