等价关系≡满足|ℝ/≡|=|ℕ|的充要条件探究

嘿，这个问题问得相当到位！先聊聊你的直觉——你后半部分的判断完全正确，但前半部分有个小偏差，咱们一步步理清楚：

首先纠正一个小误解：你觉得“如果|ℝ/≡|=|ℕ|，则每个等价类都有不可数个元素”，其实不对。比如我们可以定义一个简单的等价关系：把所有有理数归为一类，所有无理数归为另一类。这个等价关系的商集基数是2，显然属于|ℕ|的范畴，但其中有理数类是可数的，只有无理数类是不可数的。

不过你的第二个直觉非常准确：如果每个等价类都是可数或有限的，那么|ℝ/≡|一定大于|ℕ|。原因很简单：可数个可数（或有限）集合的并集仍然是可数集，而ℝ是不可数的，所以这种情况下商集的基数必然是不可数的（准确来说等于连续统$c=|\mathbb{R}|$）。

接下来咱们用集合论的基数算术来推导严格的充要条件：

对于集合X上的等价关系，有一个基本的基数等式：
$$|X| = \sum_{[x] \in X/\equiv} |[x]|$$
这里X是ℝ，基数是连续统$c$。我们要求的是$|\mathbb{R}/\equiv| = |\mathbb{N}| = \aleph_0$，代入上面的等式就得到：
$$c = \sum_{n \in \mathbb{N}} |C_n|$$
其中${C_n}$是等价类构成的可数族。

根据基数加法的性质：

• 可数个可数（或有限）基数的和仍然是$\aleph_0$，远小于$c$；
• 只有当这个可数族中**至少有一个等价类的基数是$c$（即不可数）**时，整个和才会等于$c$（因为$c + \aleph_0 + \aleph_0 + \dots = c$，甚至多个$c$相加的和也是$c$）。

所以，等价关系≡满足$|\mathbb{R}/\equiv| = |\mathbb{N}|$的充要条件可以表述为：

ℝ可以被划分成可数个等价类，且这些等价类中至少有一个是不可数的。

换个更简洁的说法：商集$\mathbb{R}/\equiv$是可数的，且并非所有等价类都是可数的。

最后再给几个例子验证一下：

• 正面例子：把ℝ分成可数个区间${[n, n+1) \mid n \in \mathbb{Z}}$，每个区间的基数都是$c$，商集基数等于$|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|$，满足条件；
• 反面例子：等价关系$x \equiv y \iff x-y \in \mathbb{Q}$，每个等价类都是某个实数加上所有有理数，是可数集，此时商集基数是$c$，大于$|\mathbb{N}|$，符合咱们的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eduardo Magalhães