关于递增非负函数列的无限求和与极限交换条件的问询

看起来你已经顺利推导出了不等式的其中一边，接下来咱们把另一半的逻辑补全，再梳理清楚等式成立的条件~

首先先确认你的推导是完全正确的：

从函数列的递增性出发，你一步步得到了：
$$\lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{k\in \Bbb{N}} f_m(x_k) \leq \sum_{k\in \Bbb{N}} \lim_{m \rightarrow \infty} f_m(x_k)$$
这里用到了非负项求和的单调性，以及极限的保序性，每一步都没问题。

接下来要证明反向不等式$\sum_{k\in \Bbb{N}} \lim_{m \rightarrow \infty} f_m(x_k) \leq \lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{k\in \Bbb{N}} f_m(x_k)$，其实不需要额外添加条件，仅靠你给出的两个前提——函数列非负和点态递增——就可以完成：

1. 先取任意固定的正整数$N$，考虑有限项求和：
   对于每个$m$，有$\sum_{k=1}^N f_m(x_k) \leq \sum_{k=1}^\infty f_m(x_k)$（因为所有项都是非负的，去掉后面的项只会让和变小）。
2. 对两边取$m\to\infty$的极限：
   左边的极限可以和有限求和交换顺序（有限项的极限和求和总是可交换的），得到$\sum_{k=1}^N \lim_{m\to\infty} f_m(x_k) \leq \lim_{m\to\infty} \sum_{k=1}^\infty f_m(x_k)$。
3. 最后让$N\to\infty$：
   左边的有限和会收敛到无限和$\sum_{k=1}^\infty \lim_{m\to\infty} f_m(x_k)$，而右边是一个固定的数（或者$\infty$），保序性依然成立，因此得到：
   $$\sum_{k\in \Bbb{N}} \lim_{m \rightarrow \infty} f_m(x_k) \leq \lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{k\in \Bbb{N}} f_m(x_k)$$

把你推导的不等式和上面的反向不等式结合起来，就得到了你想要的等式：
$$\sum_{k\in \Bbb{N}} \lim_{m \rightarrow \infty} f_m(x_k) = \lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{k\in \Bbb{N}} f_m(x_k)$$

关键前提的必要性 #

这里的两个条件缺一不可，咱们可以用反例验证：

• 去掉非负性：假设$X=\Bbb{N}$，$x_k=k$，定义$f_m(k) = -\frac{1}{k^2}$当$m<k$，$f_m(k)=0$当$m\geq k$。此时$f_m$是点态递增的，但$\lim_m f_m(k)=0$，左边求和为0；而右边$\lim_m \sum_k f_m(k) = -\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$，显然不等于左边。
• 去掉递增性：定义$f_m(k)=1$当$k=m$，否则为0。此时$f_m$非负，但$\lim_m f_m(k)=0$，左边求和为0；右边$\lim_m \sum_k f_m(k)=1$，等式不成立。

总结 #

只要满足你给出的两个条件：

• 所有$f_n$都是从$X$到$[0,\infty]$的非负函数
• 函数列点态递增，即$\forall n\in\Bbb{N}, \forall x\in X: f_n(x)\leq f_{n+1}(x)$

那么无限求和与极限的交换就一定成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Superdivinidad