关于色数为k的图中稳定划分计数S(G,k)与色多项式P(G,k)关系的疑问

嘿，我来帮你理清这个困惑～

首先你在推导的时候犯了一个小细节错误：求和变量和色数k重名啦，这很容易造成混淆。我们先把色多项式的定义里的求和变量换成m，这样代入λ=k之后，正确的表达式应该是：
$$P(G,k) = \sum_{m=\chi(G)}^{n} S(G,m) (k)_m$$

现在题目里给出$\chi(G)=k$，所以求和是从$m=k$开始的。接下来关键的点来了：当$m>k$时，下降阶乘$(k)_m$的值是0。为什么呢？回忆下降阶乘的定义：$(k)_m = k(k-1)(k-2)\cdots(k-m+1)$，当$m>k$时，这个乘积里必然会出现$(k - k)=0$这一项（比如$m=k+1$时，最后一个因子就是$k-(k+1)+1=0$），所以所有$m>k$的项都等于0，直接从求和里消失了。

那现在求和就只剩下$m=k$这一项了：
$$P(G,k) = S(G,k) (k)_k$$

而根据下降阶乘的定义，$(k)_k = k(k-1)\cdots1 = k!$，把这个代入进去，两边同时除以$k!$，就得到：
$$S(G,k) = \frac{P(G,k)}{k!}$$

这样就完美解释了你疑问的结论啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mahtab