关于对角线交点所分四个三角形周长相等的凸四边形为菱形的证明问询

大家好，我遇到这么个几何证明题，想请各位帮忙看看怎么往下推进：

证明凸四边形ABCD是菱形，已知其对角线交点为P，且△ABP、△BCP、△CDP、△DAP这四个三角形的周长相等。

我先做了变量设定：
AP = a
BP = b
CP = c
DP = d

根据周长相等的条件，能得到等式：
$AB + a + b = BC + b + c = CD + c + d = DA + d + a$

从这个连等式里，我拆解出了6个方程：

1. $AB + a + b = BC + b + c$，化简后为 $AB + a = BC + c$
2. $BC + b + c = CD + c + d$，化简后为 $BC + b = CD + d$
3. $CD + c + d = DA + d + a$，化简后为 $CD + c = DA + a$
4. $DA + d + a = AB + a + b$，化简后为 $DA + d = AB + b$
5. $AB + a + b = CD + c + d$
6. $BC + b + c = DA + d + a$

我本来想着通过联立这些方程，要么推出四边形四边相等，要么先证出对角线互相平分（也就是a=c、b=d），但试了半天，不管怎么组合这些方程，最后都只能得到一个结论：
从方程1和3联立推导，能得出 $AB + CD = BC + DA$

另外我还尝试把不同的周长等式相加，得到了两个新的式子：

• 将第一个和第二个周长等式相加：
  AB + a + b + BC + b + c = CD + c + d + DA + d + a
  化简后得到 $AB + 2b + BC = CD + 2d + DA$
• 将第一个和第四个周长等式相加：
  AB + a + b + DA + d + a = BC + b + c + CD + c + d
  化简后得到 $AB + 2a + DA = BC + 2c + CD$

可不管怎么把这两个新式子和之前的方程结合，最后还是绕回了 $AB + CD = BC + DA$ 这个结果，实在卡在这里不知道怎么继续了，有没有大佬能给点思路或者下一步的推导方向？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gl3nn