基于Herstein《代数论题》中S_{2ᵏ}的2-西罗子群方法求解S₆的2-西罗子群的疑问

我最近跟着Herstein《代数论题》里讲的针对$S_{2^k}$的2-西罗子群构造方法，尝试求解$S_6$的2-西罗子群，但遇到了好几个搞不懂的点，想请大家帮忙梳理清楚：

• 首先，书里在证明$S_{p^k}$的西罗子群构造时，用到的置换$\sigma$是类似$(1\ 3\ 5)(2\ 4\ 6)$的3-循环结构，但我看到的$S_6$的解法里，却把$\sigma$定义成了$(1\ 3)(2\ 4)$这种双2-循环，这是为什么？我本来以为应该先考虑$S_4$（毕竟4是2的幂）再嵌入到$S_6$里，但这个思路好像和实际解法对不上。
• 解法里定义了三个子群：
  • $P_1 = {(1\ 2)}$
  • $P_2 = \sigma^{-1}P_1\sigma = {(3\ 4)}$
  • $P_3 = \sigma^{{-2}P_1\sigma}2 = {(5\ 6)}$
    这里的$P_3$是怎么来的？是直接选出来的还是通过某种计算得到的？
• 另外，书里给出$S_8$的2-西罗子群$P$是${(1\ 2), (5\ 6), (1\ 3)(2\ 4)}$，这里面怎么没看到类似$P_3$的结构？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lakshmi Priya