轴互相垂直的两条抛物线的交点求解（利用对称性简化计算）
我们来看这样两个抛物线的交点问题：
抛物线1：$$y2+2kx=k2 \tag{1}$$
抛物线2：$$x2+2ky=k2 \tag{2}$$
常规解法是联立这两个方程，最后会得到一个四次方程，计算量相当大。不过观察这两个抛物线的形式，能明显看出它们具有对称性——把x和y互换的话，两个方程会互相交换位置，这说明它们关于直线$x=y$对称，这个特性应该能帮我们大幅简化计算。
我试着参考类似思路，先把两个方程相加：
$$y2+x2+2ky+2kx=2k^2$$
对x和y分别配方后，得到一个圆的方程：
$$(y+k)2+(x+k)2=(2k)^2\tag{3}$$
当$k>0$时，这个圆的圆心在$O'=(-k,-k)$，半径是$2k$。比如取$k=6$时，抛物线和这个圆的图像就像你提到的那样。
先看第一象限的交点$P(x,y)$（$x>0,y>0$）：从圆心$O'$到$P$的距离就是圆的半径$2k$，原点$O(0,0)$到$O'$的距离是$\sqrt{(-k-0)2+(-k-0)2}=\sqrt{2}k$。这里注意，直线$x=y$正好经过原点$O$和圆心$O'$（代入$x=y=-k$，确实在直线上），所以$O$、$O'$、$P$三点共线，因此$OP=O'P - O'O=2k-\sqrt{2}k=\sqrt{2}k(\sqrt{2}-1)$。
而$OP=\sqrt{x2+y2}$，如果能确定$x=y$，就能直接算出$x=y=k(\sqrt{2}-1)$，这也和Wolfram Alpha给出的解完全一致。那怎么严谨证明$x=y$呢？
其实从对称性就能推导：
- 两个抛物线关于直线$x=y$对称：如果点$(a,b)$在抛物线1上，那么点$(b,a)$一定在抛物线2上；反过来也成立。
- 交点同时在两条抛物线上，所以如果点$P(x,y)$是交点，那么点$P'(y,x)$也必然是交点。
- 第一象限的交点是唯一的（从图像能直观看到），所以$P$和$P'$必须是同一个点，也就是$x=y$。
另外，我们也可以直接验证：假设$x=y$，代入方程(1)，得到$x2+2kx=k2$，整理成二次方程$x^2+2kx -k2=0$，解这个方程得到$x=\frac{-2k\pm\sqrt{(2k)2+4k^2}}{2}=-k\pm\sqrt{2}|k|$。当$k>0$时，正根就是$x=y=k(\sqrt{2}-1)$，负根对应的点在第三象限，也是另一个交点。
除了这两个在$x=y$上的交点，其实还有另外两个交点，它们也满足对称性——如果$(x,y)$是交点，那$(y,x)$也是，这两个点关于$x=y$对称。不过利用对称性已经帮我们解决了最直观的两个交点，完全避开了四次方程的复杂计算。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Harsh Sharma
