有限群传递作用诱导置换表示中不可约表示的重数问题

先给大家理清楚相关的背景知识：

• 设有限群$G$传递地作用在集合$X$上（通过置换$X$的元素实现作用），根据轨道-稳定化子定理，$|X|$整除$|G|$，所以显然有$|X| \le |G|$。
• 设$\pi_i\ (1\le i \le m)$是$G$在复数域上的不可约表示，每个$\pi_i$的次数为$n_i$。
• 这个群作用会诱导出一个置换表示$\rho: G \to GL(V)$，其中$V$是$X$上的复自由向量空间。而且这个置换表示可以分解为不可约表示的直和：
  $$\rho=c_1\pi_1 \oplus \cdots \oplus c_m \pi_m$$
  这里的$c_i$就是不可约表示$\pi_i$在$\rho$中的重数。

我们已经知道一个特殊情况：当$|X|=|G|$时，$\rho$就是$G$的正则表示，此时每个重数$c_i=n_i$（也就是对应不可约表示的次数）。

现在核心问题是：当$|X| < |G|$时，是否对所有$i$都有$c_i \le n_i$？

给大家举个验证的例子：对于平凡表示（也就是$\pi_1$，次数$n_1=1$），这个结论是成立的。因为群作用是传递的，轨道数为1，而置换表示中平凡表示的重数恰好等于轨道数，所以$c_1=1$，显然满足$c_1 \le n_1$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者khashayar