关于分离集的两种定义的困惑：Rudin与Munkres定义的差异及原因咨询

我正在对比分离集的两种定义，有点搞不懂它们的区别，想请教大家：

Rudin的定义（度量空间语境） #

出自Rudin《Principles of Mathematical Analysis》第42页：
度量空间$X$的两个子集$A$和$B$是分离的，当且仅当
$$
A \cap \overline{B} = \emptyset \quad \text{且} \quad \overline{A} \cap B = \emptyset
$$
（注：原文此处写的是$\overline{B} \cap A = \emptyset$，和前式重复，推测应为$\overline{A} \cap B = \emptyset$）

Munkres的定义（拓扑空间语境） #

出自Munkres《Topology》第148页：
设$X$是拓扑空间。$X$的一个分离是一对不相交的非空开子集$U,V$，满足$U \cup V = X$

我现在的疑问是：

• 为什么这两个定义看起来不一样？如果它们本质上是等价的，能不能帮忙解释一下两者的关联？
• 不同的语境（度量空间vs一般拓扑空间）是不是导致定义形式不同的原因？如果是，背后的逻辑是什么？

我是拓扑和分析的新手，要是我漏掉了什么基础知识点，麻烦大家多多指教！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math.StatsGal21