拓扑中Join的结合性证明及习题$S^m*S^n = S^{m+n+1}$的求解疑问

别担心，这绝对不是什么基础到不值得问的问题——代数拓扑里的Join（接合）概念刚接触的时候确实容易卡壳，尤其是涉及到结合性这种看起来“理所当然”但需要严格证明的性质，完全理解你的困惑！

先解决Join的结合性问题 #

首先回忆Hatcher中给出的Join定义：两个拓扑空间$X$和$Y$的Join $X*Y$是商空间$(X \times Y \times [0,1]) / \sim$，其中等价关系$\sim$满足：

• 对任意$x \in X$，$(x, y_1, 0) \sim (x, y_2, 0)$（将$X \times Y \times {0}$塌缩为$X$）
• 对任意$y \in Y$，$(x_1, y, 1) \sim (x_2, y, 1)$（将$X \times Y \times {1}$塌缩为$Y$）

要证明Join的结合性，即$(XY)Z \cong X(YZ)$，我们可以通过构造同胚映射来完成：

1. 用凸组合直观理解Join元素：$X*Y$中的元素可以表示为凸组合$(1-t)x + ty$（$t \in [0,1]$，$t=0$对应$x$，$t=1$对应$y$），这和商空间的等价类一一对应。
2. 构造映射：
   • $(X*Y)Z$中的元素可写成$s \cdot w + (1-s) \cdot z$，其中$w \in XY$即$w = t \cdot x + (1-t) \cdot y$，展开后是$stx + s(1-t)y + (1-s)z$（$s,t \in [0,1]$）。
   • $X*(YZ)$中的元素可写成$u \cdot x + (1-u) \cdot v$，其中$v \in YZ$即$v = r \cdot y + (1-r) \cdot z$，展开后是$ux + (1-u)ry + (1-u)(1-r)z$（$u,r \in [0,1]$）。
3. 系数对应：令$u = st$，$r = \frac{s(1-t)}{1-st}$（当$1-st \neq 0$时，边界情况单独验证连续性即可），这样就能建立两个空间元素的一一对应。
4. 验证同胚：证明这个映射连续（商空间映射连续只需复合投影连续），再构造对称的逆映射并证明其连续，即可得到$(XY)Z$与$X(YZ)$同胚，即Join满足结合性。

回到习题$S^m*Sn = S^{m+n+1}$的证明 #

结合Hatcher给出的结论：$S^{{k-1}$同胚于$k$个$S}0$的Join，我们可以利用Join的结合性推导：

• $S^{m$是$m+1$个$S}0$的Join，即$S^m \cong \underbrace{S^0 * S^0 * ... * S^0}_{m+1个}$
• $S^{n$是$n+1$个$S}0$的Join，即$S^n \cong \underbrace{S^0 * S^0 * ... * S^0}_{n+1个}$
• 由Join的结合性，$S^m * S^n$就是$(m+1)+(n+1) = m+n+2$个$S^0$的Join
• 再套用Hatcher的结论，$m+n+2$个$S^{0$的Join同胚于$S}{(m+n+2)-1} = S^{m+n+1}$

这样就完成了习题的证明。

刚开始读Hatcher确实需要慢慢啃，遇到这种基础概念的疑问完全正常，多抠细节对后续学习帮助很大！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Susan Bradely