关于添加□_λ序列的力迫的<λ⁺-策略封闭性的证明问询

我最近在研究添加$\square_\lambda$-序列的力迫概念，遇到了一些关于它的策略封闭性的困惑，想和大家一起探讨：

首先先明确相关定义：

对于不可数基数$\lambda$，一个$\square_\lambda$-序列是序列$(C_\alpha: \alpha\in \lim(\lambda^+))$，满足：

• 每个$C_\alpha$是$\alpha$中的club（闭无界子集），且序型$\le \lambda$；
• 对任意$\alpha\in \lim(\lambda^+)$，若$\beta\in \lim(C_\alpha)$（即$\beta$是$C_\alpha$的极限点），则$C_\beta = C_\alpha\cap \beta$。

对应的力迫构造是：由后继长度的部分序列组成，也就是所有满足以下条件的条件$p$的集合：

• $\operatorname{dom}(p) = (\beta+1)\cap \lim(\lambda^+)$，其中$\beta \in \lim(\lambda^+)$；
• 对所有$\alpha\in \operatorname{dom}(p)$，$p(\alpha)$是$\alpha$中的club，且序型$\le \lambda$；
• 对所有$\alpha\in \operatorname{dom}(p)$，若$\beta \in \lim(p(\alpha))$，则$p(\beta) = p(\alpha)\cap\beta$。

第一个困惑：稠密性的验证 #

一开始我甚至没立刻想明白——对任意$\beta <\lambda^+$，集合${p: \operatorname{dom}(p)> \beta}$是稠密的，而这是这个力迫能按预期生成完整$\square_\lambda$-序列的必要条件。

已知结论与我的疑问 #

在《Handbook of Set Theory》的Cummings章节里，他提到这个力迫是**$<\lambda^{+$-策略封闭**的（但不一定是$\lambda}+$-策略封闭的）。这个性质既蕴含了上面的稠密性条件，还能推出$\lambda^+$-分配性，从而保证$\le \lambda^{+$的基数都不会被坍缩。但我一直想不出怎么证明这个$<\lambda}+$-策略封闭性。

已找到的部分证明思路 #

我翻了Cummings的一篇参考文献，找到了一个简单的思路，可以证明这个力迫是$\lambda+1$-策略封闭的：

• 记$\gamma_\beta = \max(\operatorname{dom}(p_\beta))$，先固定一个$\lambda$中的club $C$（取其最小序型）。
• 后继阶段：当游戏进行到后继阶段$\alpha = \beta+1$时，令$\gamma_\alpha = \gamma_\beta + \omega$，让$p_{\alpha}$在$\gamma_\beta$以下的部分和$p_\beta$一致（即$p_{\alpha}\upharpoonleft \gamma_\beta = p_\beta$），然后定义$p_{\alpha}(\gamma_{\alpha}) = {\gamma_\beta + n \mid n\in \omega}$。
• 极限阶段（$\alpha\le \lambda$）：当游戏进行到极限阶段$\alpha\le \lambda$时，令$\gamma_\alpha = \lim_{\beta<\alpha}\gamma_\beta$，且对所有$\beta < \alpha$，$p_\alpha\upharpoonleft \gamma_\beta = p_\beta$。如果$\alpha\notin \lim(C)$，就取$p_\alpha(\gamma_\alpha) = {\gamma_\beta \mid \sup(C\cap \alpha) < \beta < \alpha}$；如果$\alpha\in \lim(C)$，则取$p_\alpha(\gamma_\alpha) = {\gamma_\beta \mid \beta \in C\cap \alpha}$。

用归纳法很容易验证，这样添加的新club既满足协调性条件，序型也不会超过$\lambda$。

仍未解决的问题 #

我觉得$\lambda+1$-策略封闭性应该已经足够推出稠密性和$\lambda^+$-分配性了（如果我这点想错了，欢迎大家纠正）。但我还是好奇：**怎么把这个策略扩展到$\alpha > \lambda$的情况，从而证明整个力迫是$<\lambda^+$-策略封闭的？**毕竟当$\alpha > \lambda$时，原来针对$\alpha\notin \lim(C)$的策略会导致构造出的club序型超过$\lambda$，我想不到明显的修复办法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者spaceisdarkgreen