具有复乘法且类数大于1的椭圆曲线构造方法及计算机代数系统实现示例问询

我最近在研究带复乘法的椭圆曲线，有个定理明确说：当椭圆曲线E的j不变量是代数整数时，E具有复乘法。不过我卡在了一个关键点上——怎么构造对应类数大于1的椭圆曲线呢？ 另外有没有大佬能给几个用主流计算机代数系统（比如Magma、PARI/GP、SageMath）构造这类曲线的实操例子呀？

部分类数>1的虚二次域对应的j不变量参考 #

$$
\begin{align*}
j(\sqrt{-10}>!)
&=6^3 (65 + 27\sqrt{5}>!)^3\
j(\sqrt{-14}>!)
&=2^3\Big(323+228 \sqrt{2}+(59+43\sqrt{2}) \sqrt{\small{7+14\sqrt{2}},},\Big)^3\
j\Big({\small\frac{1+\sqrt{-15}}{2}}\Big)&=-3^{3\Big({\small\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\Big)}2(5+4\sqrt{5}>!)^3\
j(\sqrt{-23}>!)
&=\Big(\frac{23035}{3}+\frac{5(18279-1075 \sqrt{69}>!)\sqrt[3]{{\small108+12\sqrt{69}}}}{36}\
&\qquad\qquad\qquad+\frac{5(18279+1075 \sqrt{69}>!) \sqrt[3]{{\small108-12\sqrt{69}},}}{36}\Big)^3\
\end{align*}
$$

主流计算机代数系统实现示例 #

1. Magma 实现

Magma有专门处理复乘法椭圆曲线的内置函数，直接指定虚二次域就能生成对应曲线：

// 构造虚二次域Q(sqrt(-10))
K := QuadraticField(-10);
// 生成该域对应的带复乘法的椭圆曲线
E := EllipticCurveWithCM(K);
// 输出曲线方程和j不变量
print("椭圆曲线方程：", E);
print("对应的j不变量：", JInvariant(E));

2. PARI/GP 实现

在PARI/GP中，我们可以先计算目标虚二次域的j不变量，再以此构造椭圆曲线：

// 计算判别式为-15的虚二次域的j不变量（对应类数>1）
j_val = bnfjclass(-15);
// 用j不变量初始化椭圆曲线
E = ellinit(j_val);
// 输出曲线信息
print("椭圆曲线：");
E

3. SageMath 实现

SageMath提供了直接从CM判别式生成椭圆曲线的便捷接口：

# 生成对应判别式-23的带复乘法椭圆曲线（类数>1）
E = EllipticCurve_from_cm_discriminant(-23)
# 打印曲线方程和j不变量
print("椭圆曲线方程：", E)
print("对应的j不变量：", E.j_invariant())

备注：内容来源于stack exchange，提问作者D.Matthew