关于Kleiman《Toward a numerical theory of ampleness》中满态射下整曲线存在性引理证明的若干技术疑问

我来逐个拆解你这些疑问，都是代数几何里很经典的技术细节：

1. 投射性假设在证明里的作用？ #

Chow引理把原有的proper不可约概形转化为投射概形之后，最核心的作用是：我们能把$V'$嵌入到某个射影空间$\mathbb{P}^n$里——只有投射概形才有这样的 ambient 射影空间，才能谈“线性空间截面”这个操作。
另外，后面用到的“一般线性截面是不可约曲线”“一般截面与 generic fibre 交于0维”这些结论，都是依赖投射概形的Bertini型定理，这类定理在仅proper而非投射的情形下是不成立的，没法保证存在这样的“好”截面。

2. 什么是“合适的一般线性空间”？以及“截面”指的是什么？ #

首先，“$V'$被线性空间的截面”就是指$V'$和这个线性空间的交集，也就是$X' = V' \cap L$，这里$L$是$V'$所在的 ambient 射影空间$\mathbb{P}^n$中的线性子空间。
而“合适的一般”（suitably general）是指我们要选满足以下两个关键性质的线性空间$L$（它的余维数是$r'-1$，对应维数是$n - (r'-1)$）：

• 第一个性质：$X' = V' \cap L$是不可约的1维概形（也就是整曲线），这是Bertini定理的标准结论——只要原概形是不可约投射的，一般的线性截面会保持不可约性；
• 第二个性质：这个截面$X'$不会完全落在$f$的任何一个 fibre 里，而是和$f$的 generic fibre $F'$交于有限个点（0维）。

3. 为什么$\dim X'\cap F'=(r'-1)-(r'-1)=0$？ #

这里本质是用了射影空间里的相交维数公式。先理清几个维度：

• $F'$是$f$的 generic fibre，因为$f: V' \to V$是满态射，$V$是1维整曲线，所以$\dim F' = \dim V' - \dim V = r' - 1$；
• $X'$是$V'$和余维数$r'-1$的线性空间$L$的交，所以$\dim X' = \dim V' - (r'-1) = 1$（这也是$X'$是曲线的原因）。

对于一般的相交，维数满足下界：$\dim(X' \cap F') \geq \dim X' + \dim F' - \dim V' = 1 + (r'-1) - r' = 0$。而Kleiman写的$(r'-1)-(r'-1)$是一种简化表述，核心是我们选的是“一般”的线性截面，所以这个相交不会有更高的维数（不会出现$X'$整个包含在$F'$里的情况），因此正好达到下界0维——也就是有限个点。

4. 为什么从问题3的等式能推出最终结论$f(X')=V$？ #

我们的目标是证明$f(X')$等于整个1维整曲线$V$，只要证明$f(X')$不是$V$的真闭子集（也就是不是单个点）就行：
假设$f(X')$是$V$上的某个点$p$，那$X'$就会完全包含在 fibre $f^{{-1}(p)$里。但$f}{-1}(p)$和 generic fibre $F'$的维数都是$r'-1$，而且 generic fibre 是在$V$的 generic point 处的 fibre，和特殊 fibre $f^{-1}(p)$是不相交的——那$X' \cap F'$就应该是空集，维数为$-1$，这和我们得到的$\dim X' \cap F' = 0$（非空）矛盾。
换个更直观的角度：因为$X'$和 generic fibre 相交，说明$X'$“穿过”了$V$的 generic point，而$V$是整曲线，generic point 在$V$中是稠密的；同时$f$是 proper 态射，会把闭集$X'$映成闭集，所以$f(X')$必须包含整个$V$，也就是$f(X')=V$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hobo