实交换幺代数上幂零矩阵的行列式平方根等式有效性问询

嘿，我最近碰到这么一个问题，想和大家探讨下：

设$A$是一个实交换幺代数，$M\in A^{n\times n}$是一个幂零矩阵，那么等式
$$ (\det(M/\sinh{M}))^{1/2} = \det \left((M/\sinh{M})^{1/2}\right) $$
是否成立？这里的平方根是通过$(1+x)^{1/2}$的泰勒展开来定义的，$M/\sinh M$的定义方式也类似。

动机 #

这个等式如果成立的话，会给计算$\hat{A}$-亏格形式带来一种便捷的方法。实际上，在4维流形的情况里，它看起来已经给出了正确的结果：

因为
$$\sqrt{\frac{x}{\sinh{x}}}=1-\frac{1}{2}\frac{1}{6}x^2+\cdots$$
我们可以得到
$$\sqrt{\frac{\Omega/2}{\sinh{\Omega/2}}}=1-\frac{1}{6}\frac{1}{8}\Omega^2.$$
再结合$\mathrm{det}(1+A)=1+\mathrm{tr}(A)+\ldots$，就能推导出
$$\hat{A}(\nabla)=1-\frac{1}{6}\frac{1}{8}\mathrm{tr}(\Omega^2)$$
这个结果和《Heat Kernels and Dirac Operators》里的公式(1.36)是一致的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Filippo