关于修改线性码矩阵对最小距离影响的疑问与确认

我来帮你逐个梳理每个操作对线性码最小距离的影响，你的部分理解是正确的，但有几个点可以细化和纠正：

• 移除生成矩阵$G$的一行
  你的初始猜测“可能增或减”不太准确。移除$G$的一行相当于得到原码的一个$(k-1)$维子码——新码的所有码字都是原码的码字，只是少了一些。因此新码的最小距离不会小于原码的最小距离，只会保持不变或者变大：

  • 如果原码中所有最小重量的码字都还在子码里，最小距离不变；
  • 如果子码刚好排除了原码里那些最小重量的码字，最小距离就会增大。
    举个例子：原码是$[3,2,2]$的偶重量码，生成矩阵$G$为$\begin{bmatrix}1&0&1\0&1&1\end{bmatrix}$，最小距离是2。移除其中一行后，得到的子码是$[3,1,3]$的重复码，最小距离就变成了3，比原码更大。

• 移除校验矩阵$H$的一行
  这个操作和移除$G$的一行完全不同。$H$的每一行对应一个校验约束，移除一行意味着减少一个校验条件，新码会包含更多码字（原码是新码的子码）。因此新码的最小距离不会大于原码的最小距离，只会保持不变或者变小：

  • 新增的码字如果有比原码最小距离更小的重量，最小距离就会降低；
  • 如果新增的码字重量都不小于原码的最小距离，那最小距离不变（这种情况比较少见）。
    比如原码是$[3,1,3]$的重复码，校验矩阵$H$为$\begin{bmatrix}1&1&0\1&0&1\end{bmatrix}$，移除一行后得到的新码是$[3,2,2]$的偶重量码，最小距离从3降到了2。

• 移除生成矩阵$G$的一列
  你的理解方向是对的，但可以补充细节：移除$G$的一列相当于把每个码字去掉对应位置的比特，得到一个长度为$n-1$的新码。新码的最小距离可能等于原码的最小距离，也可能比原码小1：

  • 如果原码中所有最小重量的码字在被移除的位置上都是0，那去掉该位置后这些码字的重量不变，新码最小距离和原码一致；
  • 如果原码存在最小重量的码字在被移除的位置上是1，那去掉该位置后这些码字的重量变为$d-1$，新码的最小距离就会降到$d-1$。

• 对校验矩阵$H$执行初等行变换
  你的这个判断完全正确！初等行变换不会改变$H$的行空间，也就不会改变校验约束的集合——新的校验矩阵$H'$和原$H$定义的是同一个线性码，所以最小距离完全不会受到影响。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cooper Brian