关于杨图对应的行、列保持群直积分解的疑问

嘿，我来帮你理清这个困惑——Fulton和Harris还有Procesi书里的这个直积分解其实是基于不相交支撑集的对称群直积，不是你想的那种同一个全集合上的对称群哦！

先拆解第一个问题：为什么$P_\lambda = S_{\lambda_1} \times \dots \times S_{\lambda_k}$是直积？

• 你之前的误解可能是把$S_{\lambda_i}$当成了${1,2,\dots,\lambda_i}$上的对称群，但实际上这里的每个$S_{\lambda_i}$是杨图第i行所有元素构成的子集上的对称群，并且被嵌入到$S_d$中。比如拿分划$\lambda=(3,2)$（$d=5$）举例：假设杨图第一行填的是${1,2,3}$，第二行是${4,5}$，那么$S_{\lambda_1}$就是$S_d$中只置换${1,2,3}$元素的那些置换，$S_{\lambda_2}$是只置换${4,5}$元素的置换。
• 这些子群的支撑集（置换会改变的元素集合）是两两不相交的，所以它们的交集只有恒等置换（一个置换要同时属于两个不同行对应的子群，就得固定所有不在这两个子集里的元素，但所有元素都被覆盖了，只能是恒等），而且不同子群的元素可以交换（因为它们作用在完全不重叠的元素上），完全满足直积的定义。
• $P_\lambda$本身就是所有“保持每行元素不变”的置换，也就是每个行内部可以任意置换，行之间元素不交叉，这正好就是这些不相交支撑集对称群的直积——每个直积分量对应一行的内部置换。

再看$Q_\lambda$的分解：

• 逻辑和$P_\lambda$完全一致，只是把“行”换成了“列”。$n_i$是第i列的长度，每个$S_{n_i}$是第i列元素构成的子集上的对称群，嵌入到$S_d$中。比如还是$\lambda=(3,2)$，第一列有${1,4}$，第二列${2,5}$，第三列${3}$，那么$Q_\lambda$就是$S_2 \times S_2 \times S_1$，同样因为各列对应的子群支撑集不相交，所以是直积。

最后说你提到的tableau标注问题：

• 你想的“$1,\dots,\lambda_1$在第一行，$1,\dots,\lambda_2$在第二行”是错的，标准杨表是把1到d每个数字不重复地填进杨图里，比如第一行填1,2,3，第二行填4,5（对应$\lambda=(3,2)$）。核心是每行/每列的元素构成两两不相交的子集，这才是直积分解的基础。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Radagast