使用平方和优化求解倒立摆LQR吸引域时结果趋近于零的问题

核心问题排查方向 #

1. 约束条件的处理偏差 #

你提到的s^2 + c^2 == 1是单位向量的固有性质，但在平方和（SOS）优化中，不能直接将等式约束硬编码为严格相等——这种做法会过度限制求解器的可行域，最终导致吸引域收缩至零。

• 正确处理方式：
  • 变量替换：直接用角度偏差θ作为状态变量，用sinθ和cosθ描述摆姿态，彻底消除冗余约束；
  • 乘子松弛：若必须保留s, c变量，需将等式约束转化为(s^2 + c^2 - 1) * λ(s,c)（λ为任意多项式乘子），并将其加入Lyapunov函数导数的负定性条件中，让求解器自动处理约束松弛。

2. LQR价值函数的非线性适配问题 #

LQR价值函数基于线性化模型推导，而你用于SOS验证的是非线性原系统，直接套用可能存在适配性问题：

• 检查该价值函数在非线性系统下的导数符号：即使线性化系统稳定，非线性区域中函数导数可能不满足负定，迫使求解器只能找到极小的吸引域；
• 尝试给LQR价值函数添加高阶修正项，例如构造V(x) = V_LQR(x) + V_high(x)（V_high(x)取二次或四次低次多项式），增强对非线性特性的适配能力。

3. SOS优化的数值稳定性问题 #

• 检查多项式次数设置：过高的多项式次数会引发数值病态，导致可行域收缩；可先降低次数（如从四次降至二次）测试效果；
• 调整边界约束：若初始搜索域设置过小，或约束惩罚系数过大，也会导致求解器返回零域；建议先放宽边界，再逐步缩小范围。

代码修正建议 #

针对你参考的示例代码，可做以下调整：

1. 替换状态变量：
   将s, c替换为角度偏差θ，直接用三角函数描述姿态，消除s^2 + c^2 == 1约束：

   theta = sp.Symbol('theta')
   s = sp.sin(theta)
   c = sp.cos(theta)
   

2. 重构约束形式（若保留s,c）：
   将等式约束转化为乘子形式加入优化条件：

   lambda_poly = sp.Symbol('lambda')
   constraint = (s**2 + c**2 - 1) * lambda_poly
   sos_constraint = psos.sos(V_dot + constraint)
   

3. 调整Lyapunov函数：
   在LQR价值函数基础上添加高阶修正项：

   V = V_lqr + 0.1 * theta**4  # theta为倒立摆直立状态的角度偏差
   

验证步骤 #

1. 先移除s^2 + c^2 == 1约束，测试求解器是否能输出非零吸引域；
2. 逐步加入乘子形式的约束，观察吸引域的变化趋势；
3. 对修正后的Lyapunov函数做前向仿真，验证其在吸引域内的稳定性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TheEmboldened