关于数论中扩张导体不同定义等价性的证明思路与文献咨询

我在文献调研中发现，关于“扩张的导体”至少有3种不同的定义，先给出全文用到的符号约定：
$\def\fm{{\frak m}}\def\ff{{\frak f}}\let\ss\subset\def\cA{{\cal A}}\let\a\alpha\let\z\zeta\def\cE{{\cal E}}\let\imp\Longrightarrow\def\Q{{\Bbb Q}}$

三种不同的导体定义 #

• 理想论视角定义（参考Bochéat-Mischler、Janusz等资料）：
  导体是所有满足$P_\fm\ss\ker\cA$的模$\fm$的最大公约数（gcd）。其中$\cA$是阿廷映射，$P_\fm$是由满足$\a\equiv1\pmod{\fm}$的生成元$\a$生成的分式主理想群。用更严谨的表述来说：阿廷映射可通过射线类群分解。

• 伊代尔论视角定义（Lang/Neukirsch版本）：
  这是满足$\cE_\fm\ss N(\cE_K)$的最小模$\fm$。其中$\cE_K$是扩张$K$的可逆伊代尔群，$N=N_{K/F}$是伊代尔范映射，$\cE_\fm$是满足$\equiv1\pmod{\fm}$的可逆伊代尔群。

• Nancy Childress给出的定义：
  这是满足$\cE_\fm\ss F^*N(J_K)=\ker \cA$的最小模$\fm$，这里$\cA$是伊代尔型阿廷映射。

已推导的整除关系 #

从包含关系$\cE_K\ss J_K$可以直接推出：Childress定义下的导体$\ff_C$整除Lang定义下的导体$\ff_L$，即 $\ff_C|\ff_L$。

另外还有一个非显然的结论：若Lang定义下的导体满足$\cE_\fm\ss N(\cE_K)$，则可推出$P_\fm\in \ker\cA$，因此理想论视角下的导体$\ff_I$也整除Lang定义下的导体$\ff_L$，即 $\ff_I|\ff_L$。

待解决的问题与求助 #

我目前还不清楚其他方向的整除关系，但我认为证明这些定义本质上是等价的非常关键。

通常教材会把“旧特征导体（即满足$K\ss\Q[\z_m]$的最小$m$）与复杂导体定义等价”作为习题，但我找不到任何资料证明不同作者给出的上述三种导体定义是等价的。

有没有同行能提供等价性证明的思路，或者相关的文献参考？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者noradan