临界外捕获面（MOTS）与极小曲面的等价性条件问询

嘿，这个问题问到了广义相对论里曲面几何和黑洞理论的关键交叉点，我来给你拆解清楚：

首先咱们先把核心概念再明确一遍，避免混淆：

• 临界外捕获面（MOTS）：类空二维曲面，其外向零法向对应的扩张标量$\theta^+=0$（也就是外向零测地线既不发散也不收敛）。
• 极小曲面：类空二维曲面，其沿单位类空法向的第二基本形式的迹tr(k)=0（也就是平均曲率为零，曲面在局部没有“弯曲趋势”）。

一、MOTS与极小曲面等价的条件 #

这两个概念本质上是不同的——MOTS关注的是零测地线的行为，极小曲面关注的是类空法向的弯曲程度，只有在特定的时空背景和曲面约束下才会等价：

• 最典型的场景是平坦时空中的类空二维曲面：此时外向零扩张标量$\theta^{+$和类空法向平均曲率`tr(k)`存在直接的线性关联，如果曲面的类时法向是Killing矢量（比如静态平直时空里的静止曲面），那么$\theta}+$就等于tr(k)，这时候MOTS的条件$\theta^+=0$就直接等价于极小曲面的tr(k)=0。
• 在非平坦时空里，只有当曲面同时满足两个独立条件时才会等价：既满足MOTS的$\theta^+=0$，又满足极小曲面的tr(k)=0。比如在某些静态球对称时空的特殊位置，曲面的零法向扩张和类空法向平均曲率恰好同时为零，但这是非常特殊的情况，不是普遍成立的。

二、是否需要tr(k)和k_{nn}同时为零？ #

答案是肯定的，原因如下：
我们可以把外向零法向$l^{+$表示为单位类时法向$t$和单位类空法向$n$的组合（$l}+=t+n$，度规取$(-,+,+,+)$），此时外向零扩张标量的表达式为：
$$\theta^+ = \text{tr}(k_t) + \text{tr}(k)$$
其中tr(k_t)就是你提到的法-法分量k_{nn}（对应沿类时法向的第二基本形式的迹）。

如果要MOTS同时是极小曲面，必须满足：

1. 极小曲面条件：tr(k)=0
2. MOTS条件：$\theta^+=0$

把tr(k)=0代入$\theta^{+$的表达式，就得到`tr(k_t)=0`，也就是`k_{nn}=0`。反过来，如果$\theta}+=0$且k_{nn}=0，也能推导出tr(k)=0。所以这两个条件必须同时满足，才能让MOTS和极小曲面等价。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tom