关于依分布收敛随机变量与依概率收敛于0的随机变量之和的分布函数极限证明的正确性验证及方法探讨

你的证明思路整体是完全正确的，逻辑链条清晰，核心的拆分技巧和夹逼准则运用都很到位！下面我帮你梳理细节，再补充些其他可行的思路~

原问题回顾 #

设$X_n, Y_n$（$n\in\mathbb{N}$）是随机变量，$F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是连续函数，满足对任意$x\in\mathbb{R}$：
$$\lim\limits_{n\to \infty}P(X_n\leq x)=F(x), ~\lim\limits_{n\to \infty}P(|Y_n|\geq \epsilon)=0, ~\forall\epsilon>0.$$
证明：$\lim\limits_{n\to \infty}P(X_n+Y_n\leq x)=F(x).$

你的证明思路正确性分析 #

你通过将目标概率拆分为两个互斥事件的概率和，分别处理的思路是这类问题的经典解法，每一步的逻辑都很严谨：

1. 处理$P(|Y_n|\geq \epsilon, X_n+Y_n\leq x)$：
   你利用概率的单调性，得到这个概率不超过$P(|Y_n|\geq \epsilon)$，再结合$Y_n$依概率收敛于0的条件，直接推出这部分的极限为0，这一步毫无问题。
2. 对$P(|Y_n|< \epsilon, X_n+Y_n\leq x)$做夹逼：
   • 上界推导：你通过事件包含关系，将其放缩到$P(X_n\leq x+\epsilon)$，利用$X_n$的依分布收敛得到上界为$F(x+\epsilon)$，这里注意原推导里有个小笔误（中间误写了$P(|Y_n|\geq \epsilon, X_n\leq x-Y_n)$，应该是$P(|Y_n|< \epsilon, X_n\leq x-Y_n)$），不过不影响最终结论的正确性。
   • 下界推导：你利用德摩根律和概率的次可加性，将其放缩到$P(X_n\leq x-\epsilon)-P(|Y_n|\geq \epsilon)$，取极限后得到下界$F(x-\epsilon)$，这部分的推导逻辑非常扎实。
3. 最终夹逼得出结论：
   因为$\epsilon>0$是任意的，且$F$连续，令$\epsilon\to0^+$，就得到了$\lim\limits_{n\to \infty}P(X_n+Y_n\leq x)=F(x)$，这一步是依分布收敛证明中常用的关键技巧，运用得恰到好处。

其他可行的证明思路 #

除了你的方法，还有两种常用思路可以参考：

• Slutsky定理直接应用：
  已知$X_n \xrightarrow{d} X$（其中$X$的分布函数为$F$），$Y_n \xrightarrow{p} 0$，根据Slutsky定理：若$Z_n \xrightarrow{d} Z$，$W_n \xrightarrow{p} c$（$c$为常数），则$Z_n+W_n \xrightarrow{d} Z+c$。这里取$Z_n=X_n$，$W_n=Y_n$，$c=0$，直接就能得到$X_n+Y_n \xrightarrow{d} X$，即$\lim\limits_{n\to \infty}P(X_n+Y_n\leq x)=F(x)$。这个方法更简洁，但需要你已经掌握Slutsky定理的结论。
• 测度论视角下的控制收敛定理：
  因为$F$是连续函数，所以$X_n$的分布函数列${F_n(x)}$在$\mathbb{R}$上一致收敛于$F(x)$。我们可以把$P(X_n+Y_n\leq x)$写成期望形式$E[I(X_n+Y_n\leq x)]$（其中$I(\cdot)$为指示函数），利用$Y_n \xrightarrow{p}0$，可以证明$I(X_n+Y_n\leq x)$依概率收敛于$I(X_n\leq x)$，再结合勒贝格控制收敛定理（指示函数被1控制，满足控制条件），就能得到极限为$E[I(X\leq x)]=F(x)$。这个方法更偏向测度论的底层逻辑，适合从积分角度理解随机变量收敛的场景。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Philipp