零概率事件的条件概率定义及P(U<X₁ | X₁+X₂=1)的计算证明疑问

嘿，针对你提出的这两个概率问题，我来一步步给你梳理清楚：

问题1：零概率事件的条件概率该如何定义？ #

你担心的{X₁+X₂=1}可能是概率为0的事件，这时候咱们平时用的条件概率公式P(A|B) = P(A∩B)/P(B)确实没法用——毕竟分母是0嘛。这时候得用到广义的条件概率定义，它是基于测度论里的条件期望来构建的，简单说就是我们直接在给定事件B（也就是X₁+X₂=1）的“条件分布”框架下去计算事件A（U<X₁）的概率，而不是依赖传统的比值公式。这种定义是概率论里处理零概率条件事件的标准方法，能完美解决这类困惑。

问题2：为什么P(U<X₁ | X₁+X₂=1)=1/2？ #

你的直觉完全正确！这个概率确实是1/2，下面给你一个严谨的推导：

已知$U$服从$[0,1]$上的均匀分布，且$U$与$X_1,X_2$相互独立，$X_1,X_2$同分布且非负。我们要计算的是在$X_1+X_2=1$的条件下，$U<X_1$的概率。

首先，根据广义条件概率的定义，我们可以把这个条件概率转化为条件期望：
$$P(U<X_1|X_1+X_2=1) = E[I(U<X_1) | X_1+X_2=1]$$
这里的$I(·)$是指示函数，当括号里的事件发生时取1，否则取0。

因为$U$和$X_1,X_2$独立，当给定$X_1=x$、$X_2=1-x$（满足$X_1+X_2=1$）时，$U<x$的概率就是$x$（毕竟$U$是$[0,1]$上的均匀分布），所以：
$$E[I(U<X_1) | X_1=x, X_2=1-x] = x$$

接下来，我们需要对$X_1$在$X_1+X_2=1$的条件下的分布取期望，也就是：
$$E[I(U<X_1) | X_1+X_2=1] = E[X_1 | X_1+X_2=1]$$

这里关键的一步是利用对称性：因为$X_1$和$X_2$是同分布的，所以$E[X_1 | X_1+X_2=1] = E[X_2 | X_1+X_2=1]$。同时，由于$X_1+X_2=1$，显然有：
$$E[X_1 + X_2 | X_1+X_2=1] = E[1 | X_1+X_2=1] = 1$$

把这两个结论结合起来：
$$E[X_1 | X_1+X_2=1] + E[X_2 | X_1+X_2=1] = 1$$
$$2E[X_1 | X_1+X_2=1] = 1$$
所以$E[X_1 | X_1+X_2=1] = \frac{1}{2}$

由此就能得出：
$$P(U<X_1|X_1+X_2=1) = \frac{1}{2}$$
完全验证了你的直觉~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者GC40