如何使用Pari-GP展开二元生成函数？

针对单变量生成函数（比如斐波那契数列的生成函数），直接用Vec函数就能快速展开级数，示例代码如下：

Vec('x / (1 - 'x - 'x^2) + O('x^11))

若要展开二元有理生成函数并提取系数$A(m,n)$（即$x^m y^n$项的系数），你给出的初步脚本是完全可行的，以下是对代码的说明及优化建议：

可行代码示例 #

{
  M = 10; N = 10;  // 设定展开到x^M和y^N项

  x = 'x + O('x^(M+1));
  y = 'y + O('y^(N+1));

  // 定义二元生成函数
  F = (x + y - 2*x*y) / ((1 - 3*x - x^2)*(1 - y - 3*y^2));
  
  // 逐层提取x^m和y^n的系数
  for (m = 0, M,
    fx = polcoeff(F, m);  // 提取x^m的系数，得到关于y的级数
    for (n = 0, N,
      a = polcoeff(fx, n); // 从y的级数中提取y^n的系数
      printf("A(%d,%d) = %d\n", m, n, a)
    )
  );
}

代码说明 #

1. 精度控制：通过O('x^(M+1))和O('y^(N+1))设定级数展开的最高次项，确保能提取到$x^M$和$yN$的系数。
2. 系数提取：polcoeff(F, m)会把二元级数$F(x,y)$中所有$x^m$项合并，得到仅关于$y$的级数；再用polcoeff(fx, n)提取$y^n$的系数，最终得到$A(m,n)$。

优化方向 #

如果需要更高效地处理大规模展开（比如M、N很大），可以利用生成函数的因式分解特性拆分计算：
你的生成函数可拆分为两个单变量生成函数的线性组合：
$$F(x,y) = \frac{x}{(1 - 3x - x^2)(1 - y - 3y^2)} + \frac{y(1-2x)}{(1 - 3x - x^2)(1 - y - 3y^2)}$$
进一步拆成：
$$F(x,y) = \left(\frac{x}{1 - 3x - x^2}\right) \cdot \left(\frac{1}{1 - y - 3y^2}\right) + \left(\frac{1-2x}{1 - 3x - x^2}\right) \cdot \left(\frac{y}{1 - y - 3y^2}\right)$$
这样可以分别预计算两个单变量级数的系数，再通过卷积得到$A(m,n)$，避免重复的级数运算，提升效率。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者menjaraz