满足条件的坐标超预期：计分黑点超出10分圆圈左侧问题排查

我编写了一段代码用于计算并可视化获得10分及以上的概率，使用的计分板包含一个居中的10分圆圈。但运行后发现，部分代表计分的黑点轻微超出了10分圆圈的左侧区域。

我的代码如下：

from PIL import Image, ImageDraw
import random, math

img = Image.open("ScoreBoard.png")  
img = img.convert("RGB")  
pixels = img.load()
width, height = img.size
radius = 3/10 * width
total_area = width * height

def circle(x, r):
    return math.sqrt(r**2 - x**2)

N = 5000
black_pix_count = 0

for _ in range(N):
    # Randomly select a number within the range of the width of the image.
    rand_x = random.randint(0, width-1)
    rand_y = random.randint(0, height-1)
    
    if 2 * width/10 <= rand_x <= 8 * width/10:
        rise = circle(width/2 - rand_x, radius)
        if height/2 - rise <= rand_y <= height/2 + rise:
            pixels[rand_x,rand_y] = (0,0,0)
            black_pix_count += 1
        
scoring_area_ratio =  black_pix_count / N
print(scoring_area_ratio)
img.show()

运行后，部分黑点超出了10分圆圈的左侧区域，请问我哪里出错了？

你代码的问题出在圆内点的判断逻辑上，用分段判断x范围再计算y范围的方式，很容易在边界处出现误差，具体原因和修正方法如下：

错误原因 #

1. 你先限定rand_x在20%width到80%width之间，这对应圆的x方向理论边界，但接下来用width/2 - rand_x代入圆方程计算y范围时，浮点运算的精度问题加上整数像素坐标的取整，会导致部分靠近左边界的点被误判为在圆内。
2. 这种分段判断的方式本身就容易出现边界逻辑漏洞，不如直接用点到圆心的距离判断来得准确。

修正后的代码 #

from PIL import Image, ImageDraw
import random, math

img = Image.open("ScoreBoard.png")  
img = img.convert("RGB")  
pixels = img.load()
width, height = img.size
radius = 3/10 * width
# 定义圆心坐标
center_x = width / 2
center_y = height / 2

N = 5000
black_pix_count = 0

for _ in range(N):
    rand_x = random.randint(0, width-1)
    rand_y = random.randint(0, height-1)
    
    # 计算点到圆心的距离平方（避免开根号，提升效率同时减少精度损失）
    dist_sq = (rand_x - center_x)**2 + (rand_y - center_y)**2
    # 比较距离平方和半径平方，判断是否在圆内
    if dist_sq <= radius**2:
        pixels[rand_x, rand_y] = (0, 0, 0)
        black_pix_count += 1
        
scoring_area_ratio = black_pix_count / N
print(scoring_area_ratio)
img.show()

修正说明 #

• 采用点到圆心的距离平方与半径平方比较的方式，是判断点是否在圆内的标准方法，逻辑准确且能完全避免边界误判。
• 省去了多余的x范围判断，距离计算会自动筛选出所有圆内的点。
• 用距离平方代替开根号后的距离，既提升了运算效率，也减少了浮点运算带来的精度误差。

修改后，黑点就会严格落在10分圆圈范围内，不会再出现超出左侧区域的问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nemo