如何构建盒状房间内窗口进光的全天光照包围体？

核心目标是找到所有旋转方向下，窗口射入光线能到达的房间内点集的最小凸包围体，无需依赖蒙特卡洛采样这类近似方法，直接通过几何解析构造实现。

核心几何逻辑 #

固定倾角的光源绕垂直轴旋转时，所有可能的光线方向会形成一个圆锥面：半顶角为90°减去光源与地面的倾角θ（比如θ是光线与地面的夹角，那么光线与垂直轴的夹角就是90°-θ，对应这个半顶角的圆锥）。

窗口上任意一点发出的、落在该圆锥内的光线，在房间内的可达区域是「圆锥被房间盒体裁剪后的凸区域」。而整个被照射区域是窗口所有点对应区域的并集，且这个并集本身是凸集——这意味着我们可以通过解析方法直接找到它的边界顶点，无需采样。

具体构造步骤 #

1. 建立坐标系简化计算 #

假设：

• 房间为轴对齐盒体：x∈[0,X]，y∈[0,Y]，z∈[0,Z]（Y轴垂直于窗口所在墙面，窗口位于y=0的墙面上）
• 窗口为矩形：x∈[x₁,x₂]，z∈[z₁,z₂]，y=0
• 光源与地面（X-Y平面）倾角为θ，光线方向向量可表示为(cosθ·cosφ, cosθ·sinφ, -sinθ)（φ是绕Z轴的旋转角，范围0到2π）

2. 计算所有极值顶点 #

整个被照射区域的边界由以下几类点构成，直接计算这些点的坐标即可：

• 窗口本身的4个顶点：(x₁,z₁,0)、(x₁,z₂,0)、(x₂,z₁,0)、(x₂,z₂,0)
• 窗口顶点在房间各墙面上的最远投影点：
  以窗口顶点(x₁,z₁,0)为例，分别计算它在y=Y（对面墙）、x=X（右侧墙）、x=0（左侧墙）、z=0（地面）上的最远可达点：
  • 到y=Y墙面的点：根据光线方向推导，当光线刚好到达y=Y时，x和z坐标为x = x₁ + Y·cotφ、z = z₁ - Y·tanθ·cscφ，取φ的极值（使x或z触及房间边界）得到最远点。
  • 同理推导到其他墙面的极值点。
• 房间墙面交线与光照包络的交点：比如y=Y和x=X的交线（x=X,y=Y,z∈[0,Z]），找到光线刚好同时触及这两个墙面的点，这类点也是包围体的顶点。

3. 构造凸包 #

将所有计算得到的极值点收集起来，直接构造凸包——这个凸包就是精确的最小包围体，覆盖了所有“白天”时段被照射到的点。

方法优势 #

• 完全精确，不存在采样误差；
• 计算量极小，仅需求解有限个几何方程，无需大量采样点；
• 得到的是最小的凸包围体，而非近似外包络。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nj16