关于自伴算子$-i \frac{d}{dx}$酉等价于乘法算子的酉变换U、函数f的确定及$H^1(\mathbb{R})$元素无穷远行为的技术问询

问题背景与核心疑问 #

我们已知自伴算子 $-i \frac{d}{dx} : H^1(\mathbb{R}) \subset L^2(\mathbb{R})\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ 是自伴的，根据谱定理，它必然酉等价于一个乘法算子，即存在σ-有限测度空间 $(Ω,\mathcal{A},\mu)$ 上的酉变换 $U:L^2(\mathbb{R}) \rightarrow L^2(\Omega,\mathcal{A},\mu)$，使得：
$$-i \frac{d}{dx}= U^* M_f U$$
同时满足 $UH^1(\mathbb{R})\subseteq D(M_f)$，其中 $M_f$ 是对应可测函数 $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 的乘法算子。

你已经尝试用傅里叶变换推导，但对分部积分时的边界项假设存在疑问，接下来我会一步步解答这些问题：

一、酉变换$U$和函数$f$的明确结论 #

你的推导方向完全正确，这里的结论很直接：

• 酉变换$U$就是标准$L^2$傅里叶变换：
  $$(Uf)(\xi) = \hat{f}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} e^{-i\xi y} f(y) dy$$
  它是$L^2(\mathbb{R})$到自身的酉算子（对应测度空间$\Omega=\mathbb{R}$，$\mathcal{A}$是波莱尔σ代数，$\mu$是勒贝格测度，显然是σ-有限的）。
• 函数$f$就是恒等函数$f(\xi)=\xi$：
  对应的乘法算子$M_f$就是$M_\xi$，即对任意$\hat{f}\in L^2(\mathbb{R})$，有 $(M_\xi \hat{f})(\xi) = \xi \hat{f}(\xi)$。

从谱定理的角度看，自伴算子的酉等价乘法算子的“符号”就是它的谱映射，而$-i\frac{d}{dx}$的谱是整个实数集$\mathbb{R}$，恰好对应乘法算子的符号$\xi$，这完全符合谱定理的结论。

二、关于$H^1(\mathbb{R})$元素的无穷远行为与分部积分边界项的疑问 #

你假设$g(\pm\infty)=0$来消去分部积分的边界项，这个假设是成立的，而且可以从$H^1$空间的性质严格推导出来，不需要依赖直觉：

1. 分部积分边界项消失的严格证明 #

我们不需要直接对任意$H^1$函数做分部积分，而是可以用密度论证：

• 首先，紧支集光滑函数$C_c^{\infty(\mathbb{R})$在$H}1(\mathbb{R})$中是稠密的——也就是说，任何$H^{1(\mathbb{R})$中的函数都可以用紧支集光滑函数在$H}1$范数下逼近。
• 对于$C_c^\infty(\mathbb{R})$中的函数，显然在无穷远处为0，分部积分的边界项自然消失，此时$U(-if')(\xi)=\xi \hat{f}(\xi)$成立。
• 对于任意$f\in H^{1(\mathbb{R})$，取$C_c}\infty(\mathbb{R})$中的序列${f_n}$收敛到$f$（$H^{1$范数下），那么$f_n'$也会收敛到$f'$（$L}2$范数下）。由于傅里叶变换是$L^2$上的连续算子，对$U(-if_n')(\xi)=\xi \hat{f}_n(\xi)$两边取$L^2$极限，就得到$U(-if')(\xi)=\xi \hat{f}(\xi)$。

2. $H^1(\mathbb{R})$函数确实在无穷远处趋于0 #

虽然密度论证已经足够，但我们可以直接证明$H^1(\mathbb{R})$中的函数具有无穷远衰减性：

• 首先，$H^1(\mathbb{R})$中的函数都是一致连续的：根据柯西不等式，对任意$x,h\in\mathbb{R}$，有
  $$|f(x+h)-f(x)| = \left|\int_x^{x+h} f'(t) dt\right| \leq \sqrt{h} \cdot \left(\int_x^{x+h} |f'(t)|^2 dt\right)^{1/2}$$
  因为$f'\in L^{2$，当$x\to\pm\infty$时，$\int_x}{x+h} |f'(t)|^2 dt\to0$，这说明$f$是一致连续的。
• 其次，$f\in L^2(\mathbb{R})$，即$\int_{\mathbb{R}} |f(t)|^2 dt < \infty$。**一致连续且$L^{2$可积的函数必然在无穷远处趋于0**——如果$f(x)$不趋于0，就会存在一个序列$x_n\to\infty$使得$|f(x_n)|>\epsilon$，结合一致连续性，会存在一个固定长度的区间序列，每个区间上$|f(x)|>\epsilon/2$，这样$L}2$积分就会发散，矛盾。

所以$\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0$，自然$\lim_{x\to\pm\infty} f(x)e^{-i\xi x}=0$，分部积分的边界项确实为0。

3. $H^{1(\mathbb{R})$与$H_0}1(\mathbb{R})$的关系 #

在$\mathbb{R}$（$n=1$）上，$H^{1(\mathbb{R})$和$H_0}1(\mathbb{R})$是相等的：
$H_0^{1(\mathbb{R})$定义为$C_c}\infty(\mathbb{R})$在$H^{1$范数下的闭包，而由于$C_c}\infty(\mathbb{R})$在$H^{1(\mathbb{R})$中稠密，所以两者作为希尔伯特空间是完全相同的。不过要注意，当$n>2$时，$H}1(\mathbb{R}^n)$和$H_01(\mathbb{R}^n)$会有区别，但在一维情况下你的写法是完全正确的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MackeyTopology