寻找满足特定幂次条件的数以推导模3序列通项公式的问询

我发现-1是个很特别的数，它的任意次幂只会是1或者-1。具体来说：

• 当n是偶数（也就是n mod 2 = 0）时，$(-1)^n = 1$
• 当n是奇数（也就是n mod 2 = 1）时，$(-1)^n = -1$

基于这个思路，我现在有个问题：有没有这样一个数x，满足以下条件？

• 当n mod 3 = 0时，$x^n = 1$
• 当n mod 3 = 1时，$x^n = 1$
• 当n mod 3 = 2时，$x^n = -2$

我之所以关注这个问题，是因为它和模算术有关——我们可以给n mod k定义明确的通项公式。比如我已经推导出了n mod 2的公式：

$n \text{ mod } 2 = \frac{1 + (-1)^{n-1}}{2}$

这个公式来自序列0, 1, 0, 1, 0,...（从第0项开始），序列里偶数项都是0，奇数项都是1，所以第n项正好就是n mod 2。

序列第n项的证明 #

设序列$S_n = 0, 1, 0, 1, 0...$，可以表示为：
$S_n = \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i$

我们能得到两个等式：

1. $S_n + S_{n-1} = 1$
2. $S_n - S_{n-1} = (-1)^{n-1}$

把这两个等式相加，就能得到：
$S_n = \dfrac{1+(-1)^{n-1}}{2}$
而n mod 2就等于这个$S_n$，所以公式得证。

接下来我想推导n mod 3的通项公式，对应的是序列$A_n = 0, 1, 2, 0, 1, 2...$的第n项。我的思路是，如果能找到满足前面那三个幂次条件的x，那么这个序列的第n项可以定义为：
$$A_n = \sum_{i=0}^{n-1} x^i = \frac{x^n - 1}{x-1}$$

我觉得找到这个x会对我拓展模算术的研究有很大帮助。我刚高中毕业，没有大学以上的数学知识，希望能得到相关解答。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Divakar