在a²+b²+c²=5且a≥b≥c约束下，求多项式P=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)最值的正确解法咨询
问题描述
已知实数 (a,b,c) 满足 (a2+b2+c^2=5) 且 (a \geq b \geq c)，我需要求下面这个多项式的最小值和最大值：
$$P=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$$
我的尝试过程
我先对 (P) 做了平方处理，一步步推导如下：
$$P^2 = (a-b)2(b-c)2(c-a)2(ab+bc+ca)2 \leq \frac{(a-c)6}{16}(ab+bc+ca)2$$
接着我做了这样的变形：
$$\leq \frac{{\left{\left[\frac{2 \left(a-b\right)^{2}}{3}+\frac{2 \left(b-c\right)^{2}}{3}+\frac{2 \left(c-a\right){2}}{3}\right]\right}}{3}}{16}(ab+bc+ca)^2$$
化简后得到：
$$=\frac{1}{216}t3(10-t)2=\frac{1}{216}(t5-20t4+100t^3)$$
这里我设了 (f(t) = \frac{1}{126}(t5-20t4+100t^3))（注：此处疑似笔误，前面化简分母应为216），其中 (t \in [0;15])。
简单验证后我得到 (f(t) \leq f(15) = \frac{3125}{8})，进而推出：
$$|P| \leq \frac{25 \sqrt{10}}{4}$$
也就是：
$$\frac{-25 \sqrt{10}}{4} \leq P \leq \frac{25 \sqrt{10}}{4}$$
求助内容
不过我用Wolfram验证的时候发现，这个多项式的最小值应该是 (-4)，和我推导出来的结果完全不符。有没有大佬能给出正确的解法，推导出最小值为(-4)呀？非常感谢！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者ttp266
