关于鲁丁“紧集的闭子集是紧集”证明的疑问
先把鲁丁书中的定理和原证明整理如下：
Theorem: closed subsets of compact sets are compact
Proof: Suppose $F \subset K \subset X$, $F$ is closed (relative to $X$), and $K$ is compact.
Let ${V_{\alpha}}$ be an open cover of $F$. If $F_c$ is adjoined to ${V_{\alpha}}$, we obtain an open cover $\Omega$ of $K$. Since $K$ is compact, there is a finite subcollection $\Phi$ of $\Omega$ which covers $K$, and hence $F$. If $F^c$ is a member of $\Phi$, we may remove it from $\Phi$ and still retain an open cover of $F$. We have thus shown that a finite subcollection of ${V_{\alpha}}$ covers $F$.
我太懂你的困惑了——看错开覆盖的对象真的是很容易犯的小失误！核心问题其实卡在紧集定义的关键细节上：一个集合是紧集，要求的是它的每一个开覆盖都存在有限子覆盖，而不是“存在某个开覆盖有有限子覆盖”。
你提到的误区在于：如果我们拿的是$K$的开覆盖，它的有限子覆盖确实能覆盖$F$，但这只解决了“针对$K$的开覆盖所对应的$F$的覆盖”，而不是$F$的任意开覆盖。
就用你举的例子来说：$(0,1)$是紧集$[0,1]$的子集，但$(0,1)$本身不紧。我们可以构造一个$(0,1)$的开覆盖：${(\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}) | n \in \mathbb{N}, n \geq 2}$，这个覆盖里的所有开集都局限在$(0,1)$内部，没有一个能覆盖$0$或$1$。而$[0,1]$的任何有限开覆盖，必然包含能覆盖$0$和$1$的开集，但这些开集根本不在我们刚才构造的$(0,1)$的开覆盖里。所以当我们处理$F$的某个开覆盖时，这个覆盖本身可能完全不涉及$K$中不属于$F$的部分（比如例子里的$0$和$1$），这时候$K$的有限子覆盖对这个$F$的开覆盖毫无帮助——因为$K$的有限子覆盖里的开集可能不在$F$的这个覆盖集合里。
鲁丁的证明之所以严谨，正是因为它从$F$的任意一个开覆盖出发：把$F$的补集（因为$F$是闭集，所以$Fc$是开集）加进这个覆盖，就得到了$K$的一个开覆盖。利用$K$的紧性，我们能得到这个$K$的开覆盖的有限子覆盖，而这个有限子覆盖里，要么包含$Fc$，要么不包含。如果包含的话，去掉它之后剩下的就是原$F$的开覆盖的有限子覆盖（因为$F^c$和$F$不相交，去掉它不影响覆盖$F$）；如果不包含，那本身就是原$F$的开覆盖的有限子覆盖。这样就完美满足了“$F$的任意开覆盖都有有限子覆盖”的紧集定义。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者DAGO
