关于多元积分换元公式的验证：立方体区域上二重积分化简推导的正确性确认

嘿，你的思路方向是对的，但推导过程里有两个关键错误，咱们一步步梳理清楚：

问题回顾 #

给定$L > 1$，立方体$B_L = [0,L]^3 \subset \mathbb{R}^3$，需要化简积分：
$$\iint_{B_L\times B_L}f(x-y)dxdy$$

你的推导中的错误点 #

1. 雅可比行列式计算错误
   你选择的换元$u = x-y$，$v = x+y$是可行的，但雅可比矩阵的计算搞反了变换方向：

• 我们需要的是从$(x,y)$到$(u,v)$的变换的雅可比矩阵，正确的矩阵是：
  $$
  \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{pmatrix}
  \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \
  \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  I & -I \
  I & I
  \end{pmatrix}
  $$
  其中$I$是3×3单位矩阵。这个6×6分块矩阵的行列式为$\det(2I) = 2^3 = 8$（分块矩阵满足交换性时，行列式为$\det(AD-BC)$，这里$AD-BC = I\cdot I - (-I)\cdot I = 2I$）。
• 逆变换（从$(u,v)$到$(x,y)$）的雅可比行列式是$\frac{1}{8}$，而非你算的$\frac{1}{2}$，因为$dxdy = \left|\det\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)\right|dudv = \frac{1}{\left|\det\left(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right)\right|}dudv$。

2. 积分区域的处理错误
   你认为$v \in B_{2L}$就可以直接把$v$的积分分离并得到$B_L$的体积，这是不对的：$v$的取值范围和$u$密切相关，不能独立积分。根据$x = \frac{1}{2}(u+v)$，$y = \frac{1}{2}(v-u)$且$x,y \in B_L$，每个分量$v_i$需要满足：
   $$
   \max(|u_i|, -u_i) \leq v_i \leq \min(2L - |u_i|, 2L + u_i)
   $$
   化简后得到$v_i \in [|u_i|, 2L - |u_i|]$，因此对固定的$u$，$v$的积分区域体积为$\prod_{i=1}^3 2(L - |u_i|)$。

正确的化简推导 #

其实换一种更直观的换元会更简单：令$u = x-y$，$v = y$，此时雅可比矩阵为$\begin{pmatrix}I & I \ 0 & I\end{pmatrix}$，行列式为1，$dxdy = dudv$。

• $x = u + v \in B_L$即$0 \leq u_i + v_i \leq L$，$v = y \in B_L$即$0 \leq v_i \leq L$。
• 对每个分量$u_i$：
  • 当$u_i \in [-L, 0]$时，$v_i$的范围是$[-u_i, L]$，长度为$L + u_i = L - |u_i|$；
  • 当$u_i \in [0, L]$时，$v_i$的范围是$[0, L - u_i]$，长度为$L - u_i = L - |u_i|$；
  • 当$u_i \notin [-L, L]$时，无满足条件的$v_i$，积分长度为0。

因此内层对$v$的积分体积为$\prod_{i=1}^3 (L - |u_i|)$，最终原积分化简为：
$$
\iint_{B_L\times B_L}f(x-y)dxdy = \int_{[-L,L]^3} f(u) \cdot (L - |u_1|)(L - |u_2|)(L - |u_3|) du
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者InMathweTrust