L²[0,1]空间中单项式序列是否构成框架的技术问询

先和大家回顾一下框架的定义：一个序列 $(x_n){n \in \mathbb{N}}$ 被称为框架，当且仅当存在常数 $A,B > 0$，使得对所有 $x \in H$（$H$ 为Hilbert空间），有
$$ A \lVert x \rVert^2 \leq \sum{n=0}^{\infty} \lvert \langle x,x_n \rangle \rvert^2 \leq B \lVert x \rVert^2 $$

现在考虑装备了Lebesgue测度的Hilbert空间 $L^2[0,1]$，以及单项式序列：$x_n(t) = t^n$，其中 $t \in [0,1], n \in \mathbb{N}$。

目前我已经验证了两个结论：

• 借助Hilbert不等式，可以证明这个序列满足上框架界：对所有 $f \in L^2[0,1]$，有
  $$\sum_{n=0}^{\infty} \lvert \langle f,x_n \rangle \rvert^2 \leq B \lVert f \rVert^2 $$
• 根据Lusin定理，这个单项式序列张成的子空间在 $L^2[0,1]$ 中是稠密的。

我的核心疑问是：这个单项式序列是否构成框架？也就是它是否满足下框架界？

我一开始的直觉是它不构成框架，但不知道该从哪里推导下界。我想到框架的一个性质：如果是框架的话，空间中的每个元素都可以表示为
$$ f = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n $$
其中系数 $a_n$ 是复数，并且这个级数是无条件收敛的（自然也在 $L^2$ 范数下收敛）。所以我想找一个 $f \in L^2[0,1]$，它没有这样的幂级数展开——但我不确定这个思路是否正确，毕竟“不存在这样的展开”并不直接等价于“不构成框架”，可能还有中间情况？

希望各位能帮我解答这个疑问，或者给一些思路方向~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BabyWienerSpace