关于有理数a定义的关系$R = \{(x, y) : x = ay\}$的自反性、对称性、传递性的疑问

嘿，你的疑问完全合理！我们一个个来拆解，把每个性质说清楚：

自反性：你说的没错，大部分情况确实不满足 #

自反性的要求是对所有有理数x，都有$(x,x) \in R$，也就是得满足$x = a \cdot x$对任意x都成立。

• 只有当$a=1$时，这个等式对所有x都成立（毕竟$x=1\cdot x$嘛）；
• 只要$a \neq 1$，随便找个x就能推翻：比如取x=1，$1 \neq a \cdot 1$（因为a≠1），那$(1,1)$就不在R里。而自反性要求所有x都满足，只要有一个不满足，就不算自反。所以你说的“只要有一个 case 不成立就不是该类型”是完全正确的！

对称性：你的理解完全正确，确实不满足（除非a是±1） #

对称性要求如果$(x,y) \in R$，那$(y,x)$必须也在R里。也就是$x=ay$的同时，得有$y=ax$。
把$x=ay$代入第二个式子，得到$y = a \cdot (ay) = a^2 y$。如果y≠0（比如y=1），那必须$a^2=1$，也就是a=1或a=-1。
如果a是其他值，比如a=2，$(2,1) \in R$（因为2=2×1），但$(1,2) \notin R$（1≠2×2），直接打破对称性，所以你说它不是对称的完全对。

传递性：这得分情况，不是所有a都满足！ #

这应该就是你困惑的点了——传递性是否成立，要看a的取值：
传递性的定义是：如果$(x,y) \in R$且$(y,z) \in R$，那么$(x,z)$必须也在R里。

• 当a=1时：R就是所有$(x,x)$，显然满足传递性——毕竟$(x,x)$加$(x,x)$，结果还是$(x,x)$，肯定在R里；
• 当a=0时：R是所有第一个元素为0的有序对（也就是$(0,y)$对任意y）。如果$(x,y) \in R$，那x=0；$(y,z) \in R$的话，意味着y=0。那$(x,z)$就是$(0,z)$，显然满足x=0，所以属于R，传递性成立；
• 但如果a是其他值，比如a=2，举个反例：$(4,2) \in R$（4=2×2），$(2,1) \in R$（2=2×1），但$(4,1) \notin R$（4≠2×1），这时候传递性就不成立！

所以如果有人说这个关系是传递的，大概率是默认了a=1或a=0的特殊情况，你可以再核对一下题目里有没有指定a的取值~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Betelgeuse2051