两个骰子的条件概率计算疑问求助

我最近在学条件概率，碰到一道题怎么算都不对，实在搞不清问题出在哪，想请教大家！

题目内容 #

我们掷两个骰子，求在两个骰子点数之和为6的条件下，第一个骰子点数是1的条件概率。

我的推理过程 #

• 总共有$6^2=36$种可能的结果
• 点数之和为6的情况有5种：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，所以$P[B] = \frac{5}{36}$（这里B代表“点数和为6”这个事件）
• 第一个骰子点数为1的概率$P[A] = \frac{1}{6}$（A代表“第一个骰子是1”这个事件）
• 我当时想，$P[A \cap B] = P[B] \times P[A] = \frac{5}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{216}$
• 然后根据条件概率公式$P[A|B] = \frac{P[A \cap B]}{P[B]}$，算出来是$\frac{5}{216} \div \frac{5}{36} = \frac{1}{36}$

但这个结果明显不对，到底哪里错了呀？

问题解析 #

你出错的核心点是错误地认为事件A和事件B是独立事件，直接用$P[A] \times P[B]$计算$P[A \cap B]$，但实际上这两个事件并不独立！

$A \cap B$指的是“第一个骰子是1，同时两个骰子点数和为6”，满足这个条件的结果只有**(1,5)**这一种，所以$P[A \cap B] = \frac{1}{36}$，而不是你算的$\frac{5}{216}$。

再代入条件概率公式：
$P[A|B] = \frac{P[A \cap B]}{P[B]} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{5}{36}} = \frac{1}{5}$

另外，其实用条件概率的直观理解更快：当我们已经知道点数和为6时，所有可能的结果就是那5种，其中第一个骰子是1的只有1种，所以概率就是$\frac{1}{5}$，这样是不是更清楚？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pydoge