关于Spivak证明莫比乌斯带切丛非平凡的结论部分的疑问

我正在读Spivak的《Differential Geometry》，看到他证明莫比乌斯带的切丛$T(M)$不同胚于$M\times\mathbb{R}^2$的时候，前面的部分都懂，但卡在了最后他说“显然无法映射...”的结论上。我自己尝试梳理了一下思路，但还是没搞清楚：

假设存在一个保持纤维线性的同胚$\phi:T(M)\to M\times\mathbb{R}^2$，对于每个$\theta\in[0,2\pi]$，考虑子空间$\langle f_(v_{(\theta,0)})\rangle$（其中$v=(0,1)$），这个子空间会被$\phi$映射到$\mathbb{R}^{2$的某个子空间。这样我们就得到了一个由$\mathbb{S}}1$参数化的$\mathbb{R}^{2$子空间族，我想给$\mathbb{S}}1$上每个点选一个$\phi(\langle f_(v_{(\theta,0)})\rangle)$里的非零连续向量，但这怎么做到？这是不是等价于把$\mathbb{P}^{2$里的一条曲线提升到$\mathbb{S}}1$？

别担心，你的思路已经踩中了核心逻辑！我们一步步把这个结论拆解明白：

• 先回忆莫比乌斯带的构造：它是把矩形$[0,2\pi]\times[-1,1]$的左右边界按$(\theta,y)\sim(2\pi,-y)$粘合得到的空间。你提到的$\langle f_*(v_{(\theta,0)})\rangle$，就是莫比乌斯带宽度方向的切向量张成的一维子空间——简单说就是沿着带子“横向”走的切方向。

• 如果切丛$T(M)$是平凡的（即同胚于$M\times\mathbb{R}^{2$），那意味着我们能给整个莫比乌斯带的每一点，都指定一对**连续的、线性无关的切向量**——相当于给每个纤维$\mathbb{R}}2$固定一组全局连续的基。但莫比乌斯带的特殊性就在这里：当你沿着带子绕一圈回到起点时，那个宽度方向的切向量会翻转（和起点的向量差了一个负号）。

• 回到你说的子空间族：每个$\phi(\langle f_*(v_{(\theta,0)})\rangle)$都是$\mathbb{R}^{2$里过原点的直线（一维子空间），而这些直线正好对应实射影平面$\mathbb{P}}2$里的点（因为$\mathbb{P}^{2$的定义就是$\mathbb{R}}2$中所有过原点的直线的集合）。当$\theta$从0遍历到$2\pi$，这个直线在$\mathbb{P}^2$里会形成一条闭合曲线——但这条曲线是“带翻转”的：绕完一圈后，直线回到了原来的位置，但对应的向量方向却反过来了。

• 你想给每个$\theta$选一个该子空间里的非零连续向量，本质上就是要给$\mathbb{P}^{2$里的这条闭合曲线找一个**连续提升**到$\mathbb{S}}1$（因为$\mathbb{S}^{1$到$\mathbb{P}}2$有个自然的2:1覆盖映射：每个直线对应$\mathbb{S}^1$里两个相反的单位向量）。但问题来了：当$\theta$从0走到$2\pi$，这个提升后的向量会从$v$变成$-v$，这就意味着不存在这样的连续提升——因为连续提升要求绕一圈后向量和起点连续衔接，而这里出现了“跳变”的翻转，矛盾。

• 所以Spivak说的“显然无法映射”，其实就是指这种连续的非零向量场不存在；但如果切丛是平凡的，这种全局连续的向量场必须存在——这就构成了矛盾，因此莫比乌斯带的切丛不可能是平凡的，也就不可能同胚于$M\times\mathbb{R}^2$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者No Signals