求满足|z-3-2i|≤2时|2z-6+5i|的最小值

问题描述 #

已知复数$z$满足$|z-3-2i| \leq 2$，求$|2z-6+5i|$的最小值。

我的尝试与思路 #

我一开始是这么入手的：设$z=x+iy$（$x,y$为实数），把复数条件转化为笛卡尔坐标形式，得到：
$$(x-3)^2+(y-2)2 \leq 4$$
这显然是一个以$(3,2)$为圆心、半径为2的圆及其内部区域。

接着我把要求最小值的式子记为$\phi$，也就是$\phi = |2z-6+5i|$，当时想着平方后能和圆方程里的$(x-3)^2$项关联，于是对$\phi$做了平方处理：
$$\phi^2 =4(x-3)^2+(2y+5)2$$
但算到这里就卡壳了，不知道该怎么继续推导下去。

后来参考了@Martin R的建议，我重新梳理了思路：
其实可以先对目标式做变形，提取公因子后会更清晰：
$$|2z-6+5i| = |2(z-3) + 5i| = 2\left| z - 3 + \frac{5}{2}i \right|$$
这样一来，问题就转化成了：在以$(3,2)$为圆心、半径2的圆及其内部，找一点到点$(3, -\frac{5}{2})$的最小距离，再乘以2就是最终答案。

我算了一下，点$(3, -\frac{5}{2})$和圆心$(3,2)$在同一条竖直线上，两点之间的距离是$2 - (-\frac{5}{2}) = \frac{9}{2}$，而圆的半径是2，所以圆上离这个点最近的距离就是$\frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$，乘以2之后正好是5，和书上给出的答案一致！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math forever