关于GL(n,ℤ)与SL(n,ℤ)中极大自由阿贝尔子群秩相等的证明问题

首先先明确你的问题和当前思路：

我卡在这个问题上了，找不到推导所需结论的合理依据。问题如下：
已知$SL(n, \mathbb{Z})$是$GL(n, \mathbb{Z})$的子群，如何证明它们的极大自由阿贝尔子群的秩相等？

我目前的大致思路是这样的：取$F$作为$SL(n,\mathbb{Z})$中的一个极大自由阿贝尔子群，它自然也是$GL(n,\mathbb{Z})$的自由阿贝尔子群。假设存在$x \in GL(n,\mathbb{Z})$与$F$中所有元素交换，现在我需要证明$x$要么属于$F$，要么属于$SL(n,\mathbb{Z})$，这样就能和“$F$是$SL(n,\mathbb{Z})$中的极大自由阿贝尔子群”这个事实推出矛盾。我想到或许可以利用$SL(n,\mathbb{Z})$在$GL(n,\mathbb{Z})$中指数为2的性质，但不知道具体怎么用。

好的，我们顺着你的思路，结合指数为2的性质来一步步解决这个问题：

关键前提铺垫 #

首先要明确：$GL(n,\mathbb{Z})$中自由阿贝尔子群的秩上限是$n$（比如由对角元为正整数的对角矩阵构成的子群，就是秩为$n$的自由阿贝尔子群），而$SL(n,\mathbb{Z})$里也存在这样的子群（只需取对角元乘积为1的正整数对角矩阵），所以两者的极大自由阿贝尔子群的秩至少都是$n$，现在核心是证明它们的极大秩完全相等。

顺着你的思路推导 #

假设$F$是$SL(n,\mathbb{Z})$中的极大自由阿贝尔子群，我们要证明$F$在$GL(n,\mathbb{Z})$中也是极大的（这样两者的极大秩自然相等）：

1. 利用$GL(n,\mathbb{Z})$的结构：因为$SL(n,\mathbb{Z})$在$GL(n,\mathbb{Z})$中的指数为2，所以$GL(n,\mathbb{Z})$可以拆分为两个陪集：$SL(n,\mathbb{Z}) \cup (-I)SL(n,\mathbb{Z})$，其中$I$是$n$阶单位矩阵。也就是说，任意$x \in GL(n,\mathbb{Z})$，要么$x \in SL(n,\mathbb{Z})$，要么$x = -y$（其中$y \in SL(n,\mathbb{Z})$）。

2. 分情况讨论与$F$交换的$x$：

   • 情况1：$x \in SL(n,\mathbb{Z})$
     根据$F$在$SL(n,\mathbb{Z})$中的极大性，如果$x$和$F$中所有元素交换，那么$\langle F, x \rangle$是$SL(n,\mathbb{Z})$中的自由阿贝尔子群（交换且无挠）。但$F$已经是极大的，所以$x$必须属于$F$，否则就会产生更大的自由阿贝尔子群，矛盾。
   • 情况2：$x = -y$，$y \in SL(n,\mathbb{Z})$
     因为$x$和$F$中所有元素交换，即$(-y)f = f(-y)$对任意$f \in F$成立，两边消去负号可得$yf = fy$，也就是$y$和$F$交换。同样根据$F$的极大性，$y \in F$。此时$\langle F, x \rangle = \langle F, -y \rangle$，但$(-y)^2 = y^2 \in F$，这说明这个群存在非平凡的无挠关系（$x^2 y^{-2} = e$），所以它不是自由阿贝尔群。也就是说，添加$x$无法得到更大的自由阿贝尔子群，不会破坏$F$的极大性。

这就说明，在$GL(n,\mathbb{Z})$中，不存在能和$F$交换且能生成更大自由阿贝尔子群的元素，因此$F$在$GL(n,\mathbb{Z})$中也是极大自由阿贝尔子群，两者的秩相等。

反向验证（可选） #

如果我们取$G$是$GL(n,\mathbb{Z})$中的极大自由阿贝尔子群，考虑$G \cap SL(n,\mathbb{Z})$：

• 若$G$中所有元素都在$SL(n,\mathbb{Z})$里，那它本身就是$SL(n,\mathbb{Z})$中的极大自由阿贝尔子群；
• 若$G$中有元素不在$SL(n,\mathbb{Z})$里，这个元素必然是$-y$（$y \in SL(n,\mathbb{Z})$），同理可得$y \in G$，且$-y$和$y$线性相关，不会增加群的秩，所以$G$的秩等于$G \cap SL(n,\mathbb{Z})$的秩，而$G \cap SL(n,\mathbb{Z})$是$SL(n,\mathbb{Z})$中的极大自由阿贝尔子群。

综上，$GL(n,\mathbb{Z})$和$SL(n,\mathbb{Z})$的极大自由阿贝尔子群的秩必然相等。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yushi MuGiwara