SymPy trigsimp函数化简二次型旋转判别式结果异常求助

我尝试用SymPy验证二次型 (ax^2 + bxy + cy^2) 的判别式 (b^2 - ac) 在旋转变换下的不变性，但发现trigsimp函数化简含三角函数乘积和的表达式时出现错误。

编写的Python脚本如下：

import sympy as sp

# 定义变量和参数
x, y, theta = sp.symbols('x y theta', real=True)
a, b, c = sp.symbols('a b c', real=True)

# 原二次型
Q_original = a*x**2 + 2*b*x*y + c*y**2

# 旋转变换公式
x_rot = x*sp.cos(theta) - y*sp.sin(theta)
y_rot = x*sp.sin(theta) + y*sp.cos(theta)

# 代入旋转后的坐标
Q_rotated = Q_original.subs({x: x_rot, y: y_rot})

# 展开旋转后的二次型
Q_rotated_expanded = sp.expand(Q_rotated)

# 合并同类项以提取新系数
Q_rotated_collected = sp.collect(Q_rotated_expanded, [x**2, x*y, y**2])

# 提取旋转后的系数
a_rot = Q_rotated_collected.coeff(x**2, 1)
b_rot = Q_rotated_collected.coeff(x*y, 1) / 2  # 因为原形式是2*b*x*y
c_rot = Q_rotated_collected.coeff(y**2, 1)

# 计算原形式和旋转形式的判别式
discriminant_original = b**2 - a*c
discriminant_rotated = b_rot**2 - a_rot*c_rot
print(f"discriminant_rotated: {discriminant_rotated}\n")

# 用trigsimp化简旋转后的判别式
discriminant_rotated_simplified = sp.trigsimp(discriminant_rotated)
print(f"discriminant_rotated_simplified: {discriminant_rotated_simplified}\n")

# 检查判别式是否相等
are_equal = sp.trigsimp(discriminant_original - discriminant_rotated_simplified) == 0
print(f"are_equal: {are_equal}")

运行后，discriminant_rotated_simplified 的输出结果为：

(-a*c + b**2)*cos(theta)**4 

但正确结果应该是 (b^2 - ac)（即 -a*c + b**2）。

解决方案 #

问题出在直接对未展开的discriminant_rotated使用trigsimp，SymPy无法识别其中可消去的三角函数项。需要先展开判别式，再进行化简，或者直接使用更通用的simplify函数：

修改后的化简代码 #

# 方式1：先展开判别式再用trigsimp
discriminant_rotated_expanded = sp.expand(discriminant_rotated)
discriminant_rotated_simplified = sp.trigsimp(discriminant_rotated_expanded)

# 方式2：直接使用simplify函数（更通用）
discriminant_rotated_simplified = sp.simplify(discriminant_rotated)

替换原代码中的化简步骤后，discriminant_rotated_simplified会正确输出 -a*c + b**2，此时are_equal也会返回True。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Klaus Rohe