求解特定拓扑空间中所有点的连通分支

首先咱们先明确问题背景：给定集合$X$和点$p \in X$，定义拓扑$\tau$如下：
$$\tau := { A\subset X: p \in X-A ;\text{or}; X-A;\text{is finite}}$$
需要找出每个$q \in X$的连通分支$C(q)$。

你之前的判断其实已经对了一半：先验证$\tau$是拓扑没问题，而且对于所有$q \neq p$的点，${q}$确实是开集（因为$q \neq p$，所以$p \in X-{q}$，满足拓扑定义的第一个条件），同时${q}$的补集$X-{q}$的补集是有限集${q}$，所以$X-{q}$也是开集——这意味着${q}$是既开又闭的集合。而连通分支是包含该点的最大连通子集，单点集本身是连通的，没法再扩展，所以$C(q)={q}$，这部分完全正确。

至于点$p$的连通分支，确实需要分情况讨论，不能一概而论：

情况1：$X$是有限集合 #

当$X$有限时，任何子集$A$的补集$X-A$都是有限集，所以$\tau$其实就是$X$上的离散拓扑（所有子集都是开集）。在离散拓扑里，每个单点集都是既开又闭的连通集，所以$p$的连通分支也是自身：$C(p)={p}$。

情况2：$X$是无限集合 #

这时候$p$的连通分支就是整个$X$，咱们可以用反证法来理解：
假设$C(p) \neq X$，那必然存在某个点$x \in X \setminus C(p)$。现在考虑集合$C(p) \cup {x}$，如果它是不连通的，就意味着能把它拆成两个不相交的非空开集$U$和$V$，其中$p \in U$，$x \in V$。

• $V$是包含$x$的开集，而$x \neq p$，所以$V$最小就是${x}$（本身是开集）；
• $U=C(p)$，但$U$包含$p$，要成为$\tau$中的开集，必须满足$X-U$是有限集（因为$p \in U$，不满足“$p \in X-U$”的条件）。但$X-U=(X \setminus C(p)) \setminus {x}$，而$X \setminus C(p)$是无限集（因为$X$无限且$C(p) \neq X$），所以$X-U$是无限集，这就导致$U$不是$\tau$中的开集，和假设矛盾。

这说明$C(p) \cup {x}$是连通的，和$C(p)$是$p$的最大连通子集矛盾，所以假设不成立，只能是$C(p)=X$。

简单总结一下：

• 若$X$有限：所有点的连通分支都是自身，包括$p$；
• 若$X$无限：所有$q \neq p$的连通分支是${q}$，$p$的连通分支是整个$X$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Turquoise Tilt