关于多二项式展开式$(x+y)^n (x-y)^m$的化简及单求和形式转换的技术问询

嘿，这个问题问得特别好！咱们先从你已经推导出来的双重求和展开式入手，看看怎么把它转化成单求和的形式。

首先你已经得到了：

\begin{equation}
\begin{split}
&(x + y)^n(x - y)^m\
&=
\sum_{k_1=0}^n
\sum_{k_2=0}^m
\binom{n}{k_1}
\binom{m}{k_2}
x^{k_1+k_2}
y^{n+m-k_1-k_2}
(-1)^{m-k_2}
\end{split}
\end{equation}

要合并成单求和，核心思路是按$x$的指数分组——我们令$t = k_1 + k_2$，这样每一项里$x$的指数就是$t$，对应的$y$的指数就是$(n+m)-t$。接下来需要确定每个$t$对应的$k_2$的取值范围：

• 因为$k_1 = t - k_2$必须满足$0 \leq k_1 \leq n$，所以$t - n \leq k_2 \leq t$
• 同时$k_2$本身要满足$0 \leq k_2 \leq m$

综合这两个条件，$k_2$的取值范围是$\max(0, t - n) \leq k_2 \leq \min(m, t)$。

把$k_1 = t - k_2$代入原式，就能把双重求和转换成以$t$为变量的单求和：

$$(x+y)^n(x-y)m = \sum_{t=0}^{n+m} \left( \sum_{k_2 = \max(0, t - n)}^{\min(m, t)} \binom{n}{t - k_2}\binom{m}{k_2}(-1)^{m - k_2} \right) x^t y^{(n+m)-t}$$

如果想让系数部分看起来更简洁，我们可以把$(-1)^{m - k_2}$提取出来，写成：

$$(x+y)^n(x-y)m = (-1)^m \sum_{t=0}^{n+m} \left( \sum_{k_2 = \max(0, t - n)}^{\min(m, t)} \binom{n}{t - k_2}\binom{m}{k_2}(-1)^{k_2} \right) x^t y^{(n+m)-t}$$

要是你还想进一步化简内层的求和项，可以利用组合恒等式或者生成函数的思路：比如内层求和本质上是$(1+z)^n$和$(1-z)m$的卷积系数，对应的生成函数就是$(1+z)^n(1-z)m$，不过如果只是要实现单求和形式的转换，上面的表达式就已经满足要求了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ShoutOutAndCalculate