n=7时费马大定理的初等证明方法问询

嘿，这个问题问得好！虽然费马大定理的完整证明要到1995年才由怀尔斯搞定，但针对n=7的情况，确实存在不需要高深代数数论的初等证明——最早是由Lamé在1839年给出的，后来还有更简化的版本，核心思路就是费马自己常用的无穷递降法，下面我给你拆解下关键步骤：

• 首先我们先假设存在正整数解$(x,y,z)$，并且取其中$z$最小的一组本原解（也就是$x,y,z$两两互质，否则可以约掉公因数得到更小的解）。把方程变形为$z^7 - y^7 = x^7$，利用因式分解：
  z^7 - y^7 = (z - y)(z^6 + z^5y + z^4y^2 + z^3y^3 + z^2y^4 + zy^5 + y^6)
• 接下来证明这两个因式的最大公约数只能是$7$的幂次：假设质数$p$同时整除$(z - y)$和后面的七次多项式，那么$p$整除$7y^6$（把$z = y + kp$代入多项式展开就能得到）。因为我们取的是本原解，$p$不可能整除$y$（否则会整除$z$和$x$，矛盾），所以$p=7$，也就是说$\gcd(z-y, z^6+\dots+y6)$是$7^k$的形式。
• 然后分两种情况讨论：
  1. 互质情况（$\gcd=1$）：这时候两个因式各自都得是七次方，即$z - y = a^7$，$z6+\dots+y^6 = b^{7$，其中$x=ab$。通过不等式估计可以发现，$b}7 < 7z^6$，但$z \geq y+1 = y+a^7 \geq y+1$，代入后会推出$b^7 < 7(y+1)^{6$，可另一方面$z}6+\dots+y^6 > 7y^6$，结合七次方和六次方的增长速度，会导出矛盾，或者通过构造得到一组$z' < z$的解，违反了我们“$z$最小”的假设。
  2. $\gcd$是$7$的幂次情况：这时候需要调整变量，比如设$z = y + 7^k a^{7$，代入多项式后可以证明这个多项式能表示为$7}m b^7$，同样通过无穷递降的思路，最终也会找到更小的解，和最初的假设矛盾。

整个过程只用到初等数论里的整除、最大公约数、无穷递降法，还有基础的不等式估计，算是目前已知最“初等”的证明了——不过说实话，步骤还是有点繁琐，不像n=3或n=4的初等证明那么直观。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者gtloomk