120阶含5阶正规子群的群中15阶子群必包含该正规子群的最简证明探讨

嗨，我来聊聊这个群论问题的证明思路，以及有没有更简洁的方法～

首先明确问题：

设$G$是一个120阶群，$N$是$G$的5阶正规子群，$H$是$G$的任意一个15阶子群，证明$N \leq H$。

先看你给出的原证明 #

你的证明思路是完全成立的：

• 因为$N$是正规子群，所以$HN$是$G$的子群；
• $N$是5阶素数阶群，必然是循环群，所有非单位元都是它的生成元；
• 反设$H$不包含$N$，则$H \cap N = {e}$，进而推出$HN \cong H \times N$，因此$|HN|=15×5=75$；
• 但75无法整除120，这和拉格朗日定理矛盾，所以假设不成立，$N$必然是$H$的子群。

更简洁的证明（无需用到直积构造） #

其实我们可以跳过直积的推导，直接靠基础的群论定理就能搞定：

• 首先，$H \cap N$既是$H$的子群，也是$N$的子群。根据拉格朗日定理，它的阶数必须整除$\gcd(|H|,|N|)=\gcd(15,5)=5$，所以$|H \cap N|$只能是1或者5；
• 假设$|H \cap N|=1$，由于$N$是$G$的正规子群，我们可以用子群乘积的阶数公式：$|HN|=\frac{|H|×|N|}{|H \cap N|}=\frac{15×5}{1}=75$；
• 但75并不整除$|G|=120$，这和拉格朗日定理（子群的阶必须整除母群的阶）矛盾；
• 因此$|H \cap N|$只能是5，而$N$本身就是5阶群，所以$H \cap N=N$，也就是$N$是$H$的子群。

这个思路是不是更直接？完全不需要涉及直积的同构结论，只靠拉格朗日定理和子群乘积的阶数公式就完成了证明～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JasonJones