关于集合论中补集等式$C(X \times Y) = A \times C(Y) \cup C(X) \times B$的正确性疑问

你提的这个问题抓得特别准——确实，这个补集等式的成立完全依赖于明确指定论域（universe），你的观察一点没错！

首先得明确：这个等式通常是在**限定论域为$A \times B$**的前提下讨论的，这里的补集$C(S)$指的是$A \times B \setminus S$（也就是相对补集），而不是“绝对补集”（即整个集合宇宙中不属于$S$的所有元素）。

你举的反例非常关键：如果用绝对补集的话，$C(X \times Y)$会包含所有不属于$X \times Y$的元素，其中就包括大量非有序对的元素（比如你提到的$\emptyset$，或者任何不是$(a,b)$形式的对象）；但右边的$A \times C(Y) \cup C(X) \times B$里的元素全是有序对——因为笛卡尔积的结果必然是有序对集合，所以两边的元素类型都不一样，等式自然不成立。

而当我们把论域限定为$A \times B$时，这个等式就是成立的，我们可以简单推导一下：

• 左包含右：任取$(a,b) \in A \times C(Y) \cup C(X) \times B$，要么$a \in A$且$b \notin Y$，要么$a \notin X$且$b \in B$。这两种情况都满足$\neg(a \in X \land b \in Y)$，也就是$(a,b) \notin X \times Y$，而因为论域是$A \times B$，所以$(a,b) \in (A \times B) \setminus (X \times Y) = C(X \times Y)$。
• 右包含左：任取$(a,b) \in C(X \times Y)$，即$(a,b) \in A \times B$且$(a,b) \notin X \times Y$，根据逻辑德摩根律，$\neg(a \in X \land b \in Y)$等价于$a \notin X \lor b \notin Y$：
  • 若$a \notin X$，则$(a,b) \in C(X) \times B$；
  • 若$b \notin Y$，则$(a,b) \in A \times C(Y)$；
    所以$(a,b)$必然属于右边的并集。

总结一下：你的疑惑完全合理，很多集合论等式在未明确论域时会有歧义，这个等式只有在以$A \times B$为论域的前提下才成立，用绝对补集的话确实不成立，你的反例完全正确。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Likepineapple