Sympy自定义变换坐标系中梯度化简返回零向量问题

问题重现 #

使用带自定义变换（哪怕是恒等变换）的CoordSys3D创建坐标系后，计算标量函数的梯度并调用simplify()，会错误返回零向量：

from sympy import Function
from sympy.vector import CoordSys3D, gradient

S = CoordSys3D('S', transformation=lambda x,y,z : (x, y, z), variable_names=('x','y','z'))

f = Function('f')
grad_f = gradient(f(S.x,S.y,S.z)).simplify()
print(grad_f)

输出：

0

现象对比 #

默认坐标系下运行正常 #

import sympy as sp
from sympy.vector import CoordSys3D, gradient

R = CoordSys3D('R')
f = sp.Function('f')

grad_f = gradient(f(R.x,R.y,R.z))
print(grad_f)
print(grad_f.simplify())

输出：

(Derivative(f(R.x, R.y, R.z), R.x))*R.i + (Derivative(f(R.x, R.y, R.z), R.y))*R.j + (Derivative(f(R.x, R.y, R.z), R.z))*R.k
(Derivative(f(R.x, R.y, R.z), R.x))*R.i + (Derivative(f(R.x, R.y, R.z), R.y))*R.j + (Derivative(f(R.x, R.y, R.z), R.z))*R.k

自定义坐标系下的异常 #

梯度计算结果本身正确，但调用simplify()后错误归零：

S = CoordSys3D('S', transformation=lambda x,y,z : (x, y, z), variable_names=('x','y','z'))

grad_f = gradient(f(S.x,S.y,S.z))
print(grad_f)
print(grad_f.simplify())

输出：

(Derivative(f(S.x, S.y, S.z), S.x))*S.i + (Derivative(f(S.x, S.y, S.z), S.y))*S.j + (Derivative(f(S.x, S.y, S.z), S.z))*S.k
0

若使用非平凡变换（如自定义球坐标系），化简步骤耗时极久后仍返回错误的零向量。

临时解决方案 #

将坐标系变量替换为普通符号后再执行化简，可得到预期结果：

x,y,z = sp.symbols('x,y,z')
grad_f = grad_f.subs({S.x : x, S.y : y, S.z : z})
print(grad_f)
print(grad_f.simplify())

输出：

(Derivative(f(x, y, z), x))*S.i + (Derivative(f(x, y, z), y))*S.j + (Derivative(f(x, y, z), z))*S.k
(Derivative(f(x, y, z), x))*S.i + (Derivative(f(x, y, z), y))*S.j + (Derivative(f(x, y, z), z))*S.k

结论 #

这是Sympy Vector模块处理带自定义变换坐标系时的bug，并非对自定义变换的理解有误。问题出在simplify()方法对关联自定义坐标系变量的导数处理逻辑上，导致错误地将非零梯度判定为零。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Donna