使用Sherman-Morrison公式求矩阵$C^{-1}$的错误排查求助

大家好，我现在在用Sherman-Morrison公式计算矩阵$C$的逆矩阵，但得到的结果和用其他方法算出的不一样，实在找不到问题出在哪，希望有人能帮我排查一下错误！

先给出已知的矩阵：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix}\qquad A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 1 & 2 & 2 \\end{pmatrix} $$

我的思路是用Sherman-Morrison公式：如果$C = A + uv^{\top$，那么$C}{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}uv\top A^{-1}}{1 + v^\top A^{-1}u}$。我先把$C$拆成了$A + uv^\top$的形式，选的向量是：
$$u = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 2 \\end{pmatrix}\qquad v = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}^\top $$

下面是我的具体计算步骤：

• 第一步计算$A^{-1}uv{\top}$：
  $$A^{-1}uv{\top} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 2 \\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \ 0 & -2 & -2 \ 0 & 4 & 4 \\end{pmatrix} $$

• 第二步计算$A^{-1}uv{\top}A^{-1}$：
  $$A^{-1}uv{\top}A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \ 0 & -2 & -2 \ 0 & 4 & 4 \\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \ -2 & -2 & -2 \ 4 & 4 & 4 \\end{pmatrix} $$

• 第三步计算$v^{\top}A{-1}$：
  $$v^{\top}A{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \ \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\end{pmatrix} $$

• 第四步计算$v^{\top}A{-1}u$：
  $$v^{\top}A{-1}u = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 2\\end{pmatrix} = 2$$

• 第五步计算分母$1+ v^{\top}A{-1}u$：
  $$1+ v^{\top}A{-1}u = 1 + 2 = 3$$

• 第六步计算分式部分$\dfrac{A^{-1}uvTA^{-1}}{1+vTA^{-1}u}$：
  $$\dfrac{A^{-1}uvTA^{-1}}{1+vTA^{-1}u} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \ -2 & -2 & -2 \ 4 & 4 & 4 \\end{pmatrix} \cdot \frac13 = \begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 2/3 \ -2/3 & -2/3 & -2/3 \ 4/3 & 4/3 & 4/3 \\end{pmatrix} $$

最后代入Sherman-Morrison公式得到：
$$A^{-1} - \dfrac{A^{-1}uv{\top}A^{-1}}{1+vTA^{-1}u} = \begin{pmatrix} 1/3 & -2/3 & 1/3 \ 2/3 & 5/3 & -1/3 \ -1/3 & -4/3 & 2/3 \\end{pmatrix} $$

但我用其他方法（比如伴随矩阵法或者行变换法）算出的$C^{-1}$是这个：
$$
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 1 \
1 & 3 & -1 \
-1 & -4 & 2 \
\end{bmatrix}
$$

对比下来两个结果完全不一样，我检查了好几遍计算步骤都没发现问题，有没有人能帮我看看哪里出错了？谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Theriddler748