关于拓扑空间$X=S^1\cup \{(x, 0): x\in[-1, 1]\}$上连续作用是否必有不动点$(-1,0)$的技术问询

嗨，咱们来一步步理清这个问题，先明确核心对象：$X$是单位圆周$S^1$加上连接$(-1,0)$到$(1,0)$的线段——相当于把圆周的直径“叠加”在了圆周本身之上，这个空间的关键特征是$(-1,0)$和$(1,0)$是两个“交汇点”，其中$(-1,0)$是圆周与线段的端点交点。

你的原论证逻辑 #

你最初的结论是：任何从$X$到自身的同胚$F$都必须将$(-1,0)$映射到自身，进而任何连续群作用$\varphi:G\times X\to X$都要固定$(-1,0)$。这个思路的核心是利用连续性的序列收敛性质，你的具体推导逻辑是站得住脚的：

• 取$X$中趋近于$(-1,0)$的序列（比如$S^1$上从左侧逼近$(-1,0)$的点列，或是线段上从右侧逼近的点列${(-1+\frac{1}{n},0)}$），对于任意$g\in G$，$\varphi(g, \cdot)$作用在这些序列上，结果的极限必须和原序列的极限保持一致；
• 如果假设$\varphi(g, (-1,0))\neq (-1,0)$，那么根据连续性，点列$\varphi(g,p_n)$应该收敛到$\varphi(g,(-1,0))$，但原序列$p_n$本身收敛到$(-1,0)$，这就产生了矛盾——连续映射下序列的极限必须唯一，所以只能有$\varphi(g,(-1,0))=(-1,0)$。

审稿人例子的问题 #

审稿人提出的“对$S^1$旋转，对${(x,0):x\in(-1,1)}$恒等”的映射，实际上不是$X$上的连续映射！问题就出在$(-1,0)$点的连续性要求：

• 从$S^1$方向趋近于$(-1,0)$的点，经过非零角度旋转后，极限是旋转后的$(-1,0)$（比如旋转$\theta$角后得到$(\cos(\pi+\theta),\sin(\pi+\theta))$）；
• 从线段${(x,0):x\in(-1,1)}$方向趋近于$(-1,0)$的点，映射后的极限还是$(-1,0)$。
  这两个极限不相等，直接违反了连续映射在该点的定义——所以这个例子根本不满足“连续作用”的前提条件，不能作为反例。

结论 #

你的论证是正确的：任何$X$上的连续群作用都必须固定$(-1,0)$这个点。原因就是$(-1,0)$作为$S^1$和线段的公共端点，任何连续映射作用在$X$上时，必须保证从两个不同方向趋近该点的序列，映射后的极限一致，而只有当$\varphi(g,(-1,0))=(-1,0)$时，这个连续性条件才能被满足。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user479859