求$(f(x)-g(x)+3)$可能取得的最小正值

题目 #

设$f:\mathbb R\to \mathbb R$和$g:\mathbb R\to \mathbb R$是两个非常数可微函数，满足对所有$x\in\mathbb R$，有：
$$f'(x)-g'(x)=g'(x)(f(x))^{2-f'(x)(g(x))}2$$
且$f(1)=1, g(1)=\frac{1}{3}$，同时不存在$x$使得$f(x)=-2$或$g(x)=2$，求$(f(x)-g(x)+3)$可能取得的最小正值。

我的尝试 #

首先整理给定的微分方程：
$$f'(x)(1+(g(x))^{2)=g'(x)(1+(f(x))}2)$$
变形得到：
$$\frac{f'(x)}{1+(f(x))^{2}=\frac{g'(x)}{1+(g(x))}2}$$
对两边从1到$x$积分：
$$\big[\arctan(f(x))\big]_1^{x=\big[\arctan(g(x))\big]_1}x$$
展开后：
$$\arctan(f(x))-\arctan1=\arctan(g(x))-\arctan\frac{1}{3}$$
移项得到：
$$\arctan(f(x))-\arctan(g(x))=\arctan1-\arctan\frac{1}{3}=\arctan\frac{1}{2}$$
到这里就不知道接下来该怎么做了，猜测答案可能是$2\sqrt{5}-1$。

后续推导步骤 #

别担心，我们从刚才得到的式子继续往下推。回忆反正切的差角公式：
$$\arctan A - \arctan B = \arctan\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$$
这里把$A=f(x)$，$B=g(x)$代入，就有：
$$\arctan\left(\frac{f(x)-g(x)}{1+f(x)g(x)}\right)=\arctan\frac{1}{2}$$
题目里明确说不存在$x$使得$f(x)=-2$或$g(x)=2$，这就保证了$\frac{f(x)-g(x)}{1+f(x)g(x)}$对应的反正切值不会出现周期偏移的情况（也就是不会相差$\pi$的整数倍），所以我们可以直接去掉两边的反正切符号，得到：
$$\frac{f(x)-g(x)}{1+f(x)g(x)}=\frac{1}{2}$$
整理这个等式：
$$2(f(x)-g(x))=1+f(x)g(x)$$

现在我们设$t = f(x)-g(x)+3$——这正是我们要求的目标表达式，那$f(x)-g(x)=t-3$，我们把它记为$d = t-3$，也就是$d=f(x)-g(x)$，那么$f(x)=g(x)+d$。把$f(x)=g(x)+d$代入上面整理好的等式：
$$2d=1+(g(x)+d)g(x)$$
展开后整理成关于$g(x)$的一元二次方程：
$$g(x)^2 + d g(x) + (1-2d)=0$$

因为$g(x)$是实数（函数映射到$\mathbb R$），所以这个一元二次方程必须有实数解，也就是判别式$\Delta\geq0$：
$$\Delta = d^2 - 4\times1\times(1-2d) \geq 0$$
展开计算：
$$d^2 +8d -4 \geq0$$

接下来解这个二次不等式，先求对应的二次方程的根：
$$d = \frac{-8\pm\sqrt{64+16}}{2}=\frac{-8\pm\sqrt{80}}{2}=-4\pm2\sqrt{5}$$
所以不等式的解是$d\leq -4-2\sqrt{5}$或者$d\geq -4+2\sqrt{5}$。

现在回到$t = d +3$：

• 当$d\geq -4+2\sqrt{5}$时，$t\geq (-4+2\sqrt{5})+3=2\sqrt{5}-1$
• 当$d\leq -4-2\sqrt{5}$时，$t\leq (-4-2\sqrt{5})+3=-1-2\sqrt{5}$，但我们要找的是最小正值，这部分是负数，直接忽略就好。

最后我们要验证这个最小值是否真的能取到：当判别式$\Delta=0$时，$g(x)=\frac{-d}{2}$，代入$d=-4+2\sqrt{5}$，可得$g(x)=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5}$，这个值不等于2，符合题目条件；同时$f(x)=g(x)+d=2-\sqrt{5}+(-4+2\sqrt{5})=-2+\sqrt{5}$，这个值也不等于-2，满足题目要求。所以这个最小值是可以取到的。

这样一来，$(f(x)-g(x)+3)$可能取得的最小正值就是$2\sqrt{5}-1$，和你猜测的完全一致！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aarbee