关于罗尔定理一种非教材式证明的有效性问询

罗尔定理原命题 #

设函数 $f:[a,b]\to \Bbb R$ 满足以下条件：
(i) $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
(ii) $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导
(iii) $f(a)=f(b)$
则必存在 $c\in (a,b)$，使得 $f'(c)= 0.$

我自己尝试的证明过程 #

因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，根据最值定理，$f$ 肯定能在 $[a,b]$ 上取到最大值 $M$ 和最小值 $m$。

• 第一种情况：如果 $M=m$，那说明 $f(x)$ 在整个区间上都是常数，也就是 $f(x)=M=m$ 对所有 $x\in [a,b]$ 成立，这时候开区间 $(a,b)$ 里的每一点导数都是0，定理显然成立。
• 第二种情况：如果 $m\neq M$：
  • 假设 $f(a)=f(b)=M$，那最小值 $m$ 肯定没法在端点取到，只能落在开区间 $(a,b)$ 里的某个点 $c$，也就是 $\exists c\in (a,b)$，让 $f(c)=m$。
  • 这里我用到了一个已知结论：如果函数 $f:I\to \Bbb R$ 在区间 $I$ 的内点 $c$ 处取得相对极值，而且 $f$ 在 $c$ 点可导，那么 $f'(c)=0$。
  • 既然 $f$ 在 $(a,b)$ 内可导，那自然就有 $f'(c)=0$。
  • 反过来，如果 $f(a)=f(b)=m$（也就是不等于最大值 $M$），那最大值 $M$ 必然落在开区间 $(a,b)$ 里的某点 $c$，同样用上面的结论，也能得到 $f'(c)=0$。

我的困惑 #

我翻了好多教材，从来没见过用这种思路证明罗尔定理的，感觉有点反常。我自己检查了好几遍都没找到错误，所以特别想知道这个证明到底是不是有效的？

我见过的教材证明形式 #

不同教材里的证明大概是这几种类型（实在怕手动敲长篇证明，就先占位啦）：

• Book 1：[教材1的证明内容]
• Book 2：[教材2的证明内容，这个版本用了另一种表述的罗尔定理]
• Book 3：[教材3的证明内容]

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Finley