三角恒等式的推导求证

嘿，我刚好对这类无穷级数的三角恒等式推导门儿清，就拿维基百科里那个常见的无穷余弦级数恒等式（$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n} = -\ln(2\sin\frac{x}{2})$，$x \in (0, 2\pi)$）来给你演示推导过程吧（如果是你关注的另一个具体恒等式，随时告诉我，我再调整）：

推导核心思路：复级数+对数函数展开 #

我们可以借助复分析里的级数收敛性质来推导，步骤如下：

1. 先回忆一个经典的复级数收敛结果
   对于复数$z$，当$|z| < 1$时，有级数恒等式：
   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n} = -\ln(1 - z)$$
   这个是幂级数展开的基础结论，可以直接拿来用~

2. 代入特定复数$z = e^{ix}$
   令$z = e^{ix}$（其中$x$是$(0, 2\pi)$内的实数），此时$|z| = 1$，我们可以通过阿贝尔定理保证边界收敛，直接应用级数结果。

   代入后左边的级数可以拆成实部和虚部：
   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{inx}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx) + i\sin(nx)}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n} + i\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$$

3. 化简右边的复数对数
   我们来处理$-\ln(1 - e^{ix})$，先对$1 - e^{ix}$做变形：
   $$1 - e^{ix} = e^{ix/2}(e{-ix/2} - e^{ix/2}) = e^{ix/2} \cdot (-2i\sin\frac{x}{2})$$
   然后利用对数的性质$\ln(ab)=\ln a + \ln b$拆分：
   $$\ln(1 - e^{ix}) = \ln(e^{ix/2}) + \ln(-2i\sin\frac{x}{2})$$
   进一步拆解各项：

   • $\ln(e^{ix/2}) = \frac{ix}{2}$（复数指数的对数性质）
   • $\ln(-2i\sin\frac{x}{2}) = \ln(2\sin\frac{x}{2}) + \ln(-i)$，而$\ln(-i) = -\frac{i\pi}{2}$（因为$-i = e^{-i\pi/2}$）

   把这些代入后整理：
   $$\ln(1 - e^{ix}) = \frac{ix}{2} + \ln(2\sin\frac{x}{2}) - \frac{i\pi}{2}$$
   所以：
   $$-\ln(1 - e^{ix}) = -\ln(2\sin\frac{x}{2}) + i\left(\frac{\pi - x}{2}\right)$$

4. 对应实部与虚部，得到恒等式
   把左右两边的实部和虚部分别对应起来：

   • 实部：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n} = -\ln(2\sin\frac{x}{2})$（这就是我们要证的余弦无穷级数恒等式）
   • 虚部：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n} = \frac{\pi - x}{2}$（顺带得到了正弦无穷级数的恒等式）

最后补充一句：这个推导在$x \in (0, 2\pi)$时成立，当$x=0$或$2\pi$时，级数会发散，需要注意适用范围哦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jakub Peťka